Kode 249 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = x^2 $ dan $ g(x) = ax, \, a >0 $. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva $ f $ dan $ y = 4 $. Jika kurva $ g $ membagi daerah D dengan perbandingan luas $ 1 : 7 $, maka $ a = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Konsep Luas Menggunakan Integral
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Titik Potong Kedua Kurva Daerah D
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
*). Titik Potong Kurva $ f(x) = x^2 $ dan $ g(x) = ax $ :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = ax \\ x^2 - ax & = 0 \\ x(x - a) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = a \end{align} $
*). Luas daerah D :
$\begin{align} \text{Luas D} & = \int \limits_{-2}^2 ( 4 - x^2) dx \\ & = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^2 \\ & = ( 4.2 - \frac{1}{3}.2^3) - ( 4.(-2) - \frac{1}{3}.(-2)^3) \\ & = ( 8 - \frac{8}{3}) - ( -8 + \frac{8}{3}) \\ & = \frac{32}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas Daerah L1 :
$ L1 : L2 = 1 : 7 $ dan $ L1 + L2 = \, \text{Luas D} $, sehingga :
$ L1 = \frac{1}{8} \times \text{Luas D} = \frac{1}{8} \times \frac{32}{3} = \frac{4}{3} $
*). Menentukan nilai $ a $ dari Luas L1 :
$\begin{align} \text{Luas L1} & = \int \limits_{0}^a [ g(x) - f(x) ] dx \\ \frac{4}{3} & = \int \limits_{0}^a ( ax - x^2) dx \\ \frac{4}{3} & = [ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^a \\ \frac{4}{3} & = [ \frac{a}{2}.a^2 - \frac{1}{3}.a^3]- [ \frac{a}{2}.0^2 - \frac{1}{3}.0^3] \\ \frac{4}{3} & = [\frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} ] - [0]\\ \frac{4}{3} & = \frac{a^3}{6} \\ a^3 & = 8 \\ a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar