Pembahasan Lingkaran UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran dengan titik pusat $(a,b)$ menyinggung sumbu $ x $ dan garis $ y = x $ jika jari-jari $ |b|$ dan
A). $ a - (\sqrt{2} +1) b = 0 \, $
B). $ a - (\sqrt{2} -1) b = 0 \, $
C). $ (\sqrt{2} +1) a - b = 0 \, $
D). $ (\sqrt{2} -1)a - b = 0 \, $
E). $ a - \sqrt{2} b = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Lingkaran dengan titik pusat $ P(a,b) $ menyinggung sumbu X memiliki jari-jari $ = |b| $.
*). Lingkaran menyinggung garis $ y = x $, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis tersebut.
*). Jarak titik $ (a,b) $ ke garis $ mx + ny + c = 0 $ :
Jarak $ = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2+n^2}} \right| $
*). Bentuk harga mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{ untuk } x < 0 \end{array} \right. $
dan
$ |x-y| = \left\{ \begin{array}{cc} x-y & , \text{ untuk } x \geq y \\ -(x - y) & , \text{ untuk } x < y \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Ada dua kemungkinan bentuk lingkarannya yaitu di kuadran I atau kuadran III :
*). Lingkaran di Kuadran I (pertama) :
Nilai $ b > 0 $ dan $ a > b $ sehingga $ |b| = b $ dan $ |a-b| = a-b $ dengan jari-jari lingkaran adalah $ |b| $. Jari-jari lingkaran juga sama dengan jarak titik pusat $(a,b) $ ke garis $ x - y = 0 $, sehingga
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{x - y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| \\ r & = \left| \frac{a - b}{\sqrt{2}} \right| \\ |b| & = \frac{|a - b|}{\sqrt{2}} \\ \sqrt{2}|b| & = |a-b| \\ \sqrt{2}b & = a-b \\ 0 & = a-b - \sqrt{2}b \\ 0 & = a- ( \sqrt{2} + 1) b \end{align} $
Artinya $ a - (\sqrt{2} + 1 ) b = 0 \, $ .....(i)
*). Lingkaran di Kuadran III (ketiga) :
Nilai $ b < 0 $ dan $ a < b $ sehingga $ |b| = -b $ dan $ |a-b| = -(a-b) $ dengan jari-jari lingkaran adalah $ |b| $. Jari-jari lingkaran juga sama dengan jarak titik pusat $(a,b) $ ke garis $ x - y = 0 $, sehingga
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{x - y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| \\ r & = \left| \frac{a - b}{\sqrt{2}} \right| \\ |b| & = \frac{|a - b|}{\sqrt{2}} \\ \sqrt{2}|b| & = |a-b| \\ \sqrt{2}.(-b) & = -(a-b) \, \, \, \, \, \, \text{(kali } -1) \\ \sqrt{2}b & = a-b \\ 0 & = a-b - \sqrt{2}b \\ 0 & = a- ( \sqrt{2} + 1) b \end{align} $
Artinya $ a - (\sqrt{2} + 1 ) b = 0 \, $ .....(ii)
Bentuk (i) dan (ii) sama, sehingga kita peroleh $ a - (\sqrt{2} + 1 ) b = 0 $
Jadi, $ a - (\sqrt{2} + 1 ) b = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar