Pembahasan Vektor UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Vektor $ \vec{w} $ merupakan vektor proyeksi tegak lurus vektor $ (a, 1-a, a) $ pada vektor $ (-1,-1,1) $. Jika panjang $ \vec{w} $ adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $ , maka di antara nilai $ a $ berikut ini yang memenuhi adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $
-). Panjang vektor $ \vec{a} $ disimbolkan $ |\vec{a}| $
$ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } $
-). Perkalian dot : $ \vec{a}.\vec{b} = a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
*). Panjang proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ adalah
Panjang proyeksi $ = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| $
*). Sifat bentuk mutlak :
$ |f(x)|^2 = [f(x)]^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui (permisalan):
$ \vec{a} = (a, 1-a, a) \, $ dan $ \vec{b} = (-1,-1,1) $
panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $
*). Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} $ dan $ |\vec{b}| $ :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = a.(-1) + (1-a).(-1) + a.1 \\ & = a - 1 \\ |\vec{b}| & = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} \text{panjang proyeksi } & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ \left| \frac{a - 1}{\sqrt{3}} \right| & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ \frac{|a - 1|}{\sqrt{3}} & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ |a - 1| & = \frac{2}{3}\sqrt{3}. \sqrt{3} \\ |a - 1| & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ |a - 1|^2 & = 2^2 \\ (a - 1)^2 & = 4 \\ a^2 - 2a + 1 & = 4 \\ a^2 - 2a -3 & = 0 \\ (a + 1)(a - 3) & = 0 \\ a = -1 \vee a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = -1 \, $ atau $ a = 3 $ (C) $ . \, \heartsuit $


Tidak ada komentar:

Posting Komentar