dunia informa: matipa um ugm tahun 2009

Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm tahun 2009. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Matriks UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Jika determinan $ \left| \begin{matrix} (2x-4y) & -1 \\ (-x+7y) & 2 \end{matrix} \right| = -2 $ merupakan persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) = x^2 + x + k $ , maka nilai $ k = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan Matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $
*). Syarat garis dan parabola bersinggungan :
$ D = 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan garisnya :
$ \begin{align} \left| \begin{matrix} (2x-4y) & -1 \\ (-x+7y) & 2 \end{matrix} \right| & = -2 \\ 2(2x-4y) - (-1).(-x+7y) & = -2 \\ 4x-8y -x+7y & = -2 \\ 3x-y + 2 & = 0 \end{align} $
*). Substitusi $ y = x^2 + x + k $ ke garis :
$ \begin{align} 3x-y + 2 & = 0 \\ 3x-(x^2 + x + k)+ 2 & = 0 \\ -x^2 + 2x -k + 2 & = 0 \\ a = -1 , b = 2 , c & = -k + 2 \\ \text{Syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ 2^2 - 4. (-1). (-k+2) & = 0 \\ 4 - 4k + 8 & = 0 \\ - 4k & = -12 \\ k & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Dari angka-angka 2, 3, 5, 7 dan 9 akan disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka tanpa pengulangan. Banyak bilangan yang dapat terbentuk dengan nilai kurang dari 4000 adalah ....
A). $ 30 \, $ B). $ 48 \, $ C). $ 112 \, $ D). $ 120 \, $ E). $ 132 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kaidah pencacahan untuk aturan perkalian :
Misalkan ada $ p $ cara bagian pertama dan $ q $ cara bagian kedua, maka total caranya adalah $ p \times q $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angka : $ 2, 3, 5, 7, 9 $ (ada 5 pilihan)
*). Menyusun empat angka tanpa pengulangan (angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi) yaitu ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan.
i). Agar kurang dari 4000, maka digit ribuannya ada dua pilihan yaitu angka 2 atau 3 (ada 2 cara)
ii). Angka ratusan bebas, tetapi satu angka sudah dipakai untuk ribuan sehingga tersia empat pilihan (ada 4 cara)
iii). digit puluhan ada 3 pilihan karena dua angka sudah dipakai untuk ribuan dan ratusan (ada 3 cara)
iv). digit satuan ada 2 pilihan karena tiga angka sudah dipakai untuk puluhan, ribuan dan ratusan (ada 2 cara)
Sehingga total cara untuk menyusun empat angka yaitu :
$ = 2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48 \, $ cara.
Jadi, ada 48 bilangan yang terbentuk $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ x_1 , \, x_2 \, $ akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 = 0 $ dan $ x_1, k , x_2 $ merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $ , dan $ r \neq -1 $ , maka $ x_1 + k + x_2 = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 17 \, $ C). $ 18 \, $ D). $ 19 \, $ E). $ 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Ciri-cir barisan geomeri : Perbandingan sama
Mislakan ada tiga suku $ x, y, z $ adalah barisan geometri, maka
$ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan Kuadrat : $ x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 = 0 $
$ a = 1, b = -(3k+5) , c = 2k + 3 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = 2k + 3 \, $ ....(i)
*). $ x_1, k , x_2 \, $ membentuk barisan geometri
Sehingga $ k^2 = x_1.x_2 \, $ ....(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} k^2 & = x_1.x_2 \\ k^2 & = 2k + 3 \\ k^2 -2k - 3 & = 0 \\ (k + 1)(k - 3) & = 0 \\ k = -1 \vee k & = 3 \end{align} $
*). Menentukan $ x_1 $ dan $ x_2 $ berdasarkan nilai $ k $ :
-). Pertama, untuk $ k = -1 $ :
$ \begin{align} x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 & = 0 \\ x^2 - (3.(-1)+5)x + 2.(-1) + 3 & = 0 \\ x^2 - 2x + 1 & = 0 \\ (x-1)(x-1) & = 0 \\ x_1 = 1 \vee x_2 & = 1 \end{align} $
Barisannya : $ x_1, k , x_2 \rightarrow 1 , -1 , 1 $
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-1}{1} = -1 $
Tidak memenuhi karena syaratnya $ r \neq -1 $.
-). Kedua, untuk $ k = 3 $ :
$ \begin{align} x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 & = 0 \\ x^2 - (3.3+5)x + 2.3 + 3 & = 0 \\ x^2 - 14x + 9 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ x_1 + x_2 & = \frac{-(-14)}{1} = 14 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x_1 + k + x_2 = (x_1 + x_2) + k = 14 + 3 = 17 $.
Jadi, nilai $ x_1 + k + x_2 = 17 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ \int \limits_1^2 \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \, dx = a $, maka $ \int \limits_1^2 \frac{4\sqrt{x} + k}{\sqrt{x} + 1} \, dx = 4 - 3a \, $ untuk $ k = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Integral :
$ \int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \int \limits_1^2 \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \, dx = a $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \int \limits_1^2 \frac{4\sqrt{x} + k}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ \int \limits_1^2 \frac{(4\sqrt{x} + 4)+(k-4)}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ \int \limits_1^2 \frac{4(\sqrt{x} + 1)+(k-4)}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ \int \limits_1^2 \frac{4(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} + \frac{(k-4)}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ \int \limits_1^2 \left( 4 + \frac{(k-4)}{\sqrt{x} + 1} \right) \, dx & = 4 - 3a \\ \int \limits_1^2 4 \, dx + \int \limits_1^2 \frac{(k-4)}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ [4x]_1^2 + (k-4)\int \limits_1^2 \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ (4.2 - 4.1) + (k-4).a & = 4 - 3a \\ 4 + (k-4).a & = 4 - 3a \\ (k-4).a & = - 3a \\ (k-4) & = - 3 \\ k & = - 3 + 4 \\ k & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) }{4x - \pi} = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -\frac{1}{4} \, $ E). $ -\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan Turunan pada Limit (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $, solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x) }{g^\prime (x)} $
*). Turunan Fungsi trigonometri :
$ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) \cos f(x) $
$ y = \cos f(x) \rightarrow y^\prime = -f^\prime (x) \sin f(x) $
*). Sifat sudut negatif : $ \sin (-x) = -\sin x \, $ dan $ \cos (-x) = \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi trigonometrinya :
$ \begin{align} y & = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \rightarrow y^\prime = \frac{-2}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \\ y & = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \rightarrow y^\prime = \frac{2}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) }{4x - \pi} = \frac{0}{0} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\frac{-2}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{2}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)}{4} \\ & = \frac{\frac{-2}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2. \frac{\pi}{4} \right) + \frac{2}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2. \frac{\pi}{4} \right)}{4} \\ & = \frac{\frac{-2}{\sqrt{2}} \cos \left(-\frac{\pi}{4} \right) + \frac{2}{\sqrt{2}} \sin \left(-\frac{\pi}{4} \right)}{4} \\ & = \frac{\frac{-2}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} \right) - \frac{2}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} \right)}{4} \\ & = \frac{\frac{-2}{\sqrt{2}} .\frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} . \frac{1}{2}\sqrt{2} }{4} \\ & = \frac{-1 -1 }{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -\frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{\sin a f(x)}{b f(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan syarat $ f(a) = 0 $
*). Rumus jumlah trigonometri :
$ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
*). Nilai $ \cos 45^\circ = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $
*). Nilai $ \sin 45^\circ = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal :
$ \begin{align} & \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \\ & = \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right).\frac{1}{\sqrt{2}} + \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) .\frac{1}{\sqrt{2}} \\ & = \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right).\cos \frac{\pi}{4} + \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) .\sin \frac{\pi}{4} \\ & = \sin \left( \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{\pi}{4} \right) \\ & = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) = \sin -\frac{1}{2} \left( 4x - \pi \right) \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) }{4x - \pi} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin -\frac{1}{2} \left( 4x - \pi \right)}{(4x - \pi)} \\ & = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -\frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Terapan Turunan UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Fungsi $ f(x) = x^3 + 3kx^2 - 9k^2x - 4 $ turun dalam selang $ -2 < x < 6 $ jika $ k = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ turun dengan syarat $ f^\prime (x) < 0 $
*). Pertidaksamaan $ g(x) < 0 $ memiliki solusi $ a < x < b $, artinya $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari $ g(x) = 0 $ sehingga $ g(a) = g(b) = 0 $.
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) = x^3 + 3kx^2 - 9k^2x - 4 $
$ f^\prime (x) = 3x^2 + 6kx - 9k^2 $
*). Fungsi $ f(x) $ turuna pada interval $ -2 < x < 6 $, artinya $ f^\prime (x) < 0 $ memiliki solusi $ -2 < x < 6 $ sehingga $ f^\prime (-2) = f^\prime (6) = 0 $ atau bisa kita sebut $ x_1 = -2 $ dan $ x_2 = 6 $ yang merupakan akar-akar dari $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Menentukan nilai $ k $ dengan operasi akar-akar :
$ f^\prime (x) = 3x^2 + 6kx - 9k^2 = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 = -2 $ dan $ x_2 = 6 $
$ \begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ -2 + 6 & = \frac{-6k}{3} \\ 4 & = -2k \\ k & = -2 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = -2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Sebuah deret dengan suku ke-$n$ adalah $ a_n$ mempunyai jumlah $ n $ suku pertama $ 5n^2+3n$. Nilai $ a_1 + a_5 + a_8 + ... + a_{20} = .... $
A). $ 726 \, $ B). $ 736 \, $ C). $ 746 \, $ D). $ 756 \, $ E). $ 766 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). Rumus suku ke-$n$ : $ u_n = a + (n-1)b $
*). Rumus Jumlah $ n $ suku pertama :
$ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
Jika $ s_n = pn^2 + qn \rightarrow b = 2p $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ \begin{align} s_n & = 5n^2 + 3n \rightarrow b = 2.5 = 10 \\ a & = u_1 = s_1 = 5.1^2 + 3.1 = 5 + 3 = 8 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a_1 , a_2 , .... $ :
$ \begin{align} a_2 & = u_2 = a + b = 8 + 10 = 18 \\ a_5 & = u_5 = a + 4b = 8 + 4.10 = 48 \end{align} $
*). Jumlah yang diinginkan :
$ \begin{align} a_2 + a_5 + a_8 + ... + a_{20} \end{align} $
Yaitu penjumlah 7 suku pertama $ s_7 $ dengan suku pertama $ a_2 $ dan beda yaitu $ b = a_5 - a_2 = 48 - 18 = 30 $.
*). Menentukan nilai $ s_7 $ :
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_7 & = \frac{7}{2}(2.18 + (7-1).30) \\ & = \frac{7}{2}(36 + 180) \\ & = \frac{7}{2}(216) = 7 . 108 = 756 \end{align} $
Jadi, nilai $ a_2 + a_5 + a_8 + ... + a_{20} = 756 . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ 2^{x+1} + \frac{1}{2^{x-3}} = 17 $ , maka $ x_1^2 + x_2^2 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 13 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ a^{m+n} = a^m . a^n $
2). $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
3). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^f(x) = a^c \rightarrow f(x) = c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita misalkan : $ 2^x = p $
$ \begin{align} 2^{x+1} + \frac{1}{2^{x-3}} & = 17 \\ 2^{x}. 2^1 + \frac{1}{\frac{2^x}{2^3}} & = 17 \\ 2.2^{x} + \frac{2^3}{2^x} & = 17 \\ 2.p + \frac{8}{p} & = 17 \, \, \, \, \, \, \text{(kali p)} \\ 2p^2 + 8 & = 17p \\ 2p^2 -17p + 8 & = 0 \\ (2p-1)(p-8) & = 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 8 \\ p = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = 2^{-1} \rightarrow x_1 = -1 \\ p = 8 \rightarrow 2^x & = 2^3 \rightarrow x_2 = 3 \\ \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x_1^2 + x_2^2 $ :
$ \begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui $ {}^a \log \frac{b}{c} = p $ dan $ {}^a \log bc^2 = q $, maka $ {}^a \log b = .... $
A). $ \frac{q-p}{3} \, $ B). $ \frac{q-2p}{3} $ C). $ \frac{q+p}{3} $
D). $ \frac{q + 2p}{3} \, $ E). $ \frac{p-2q}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
2). $ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
3). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita misalkan :
$ {}^a \log b = x $ dan $ {}^a \log c = y $
*). Mengubah bentuk soal :
$ \begin{align} \text{pertama : } {}^a \log \frac{b}{c} & = p \\ {}^a \log b - {}^a \log c & = p \\ x - y & = p \\ y & = x - p \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ \text{kedua : } {}^a \log bc^2 & = q \\ {}^a \log b + {}^a \log c^2 & = q \\ {}^a \log b + 2 {}^a \log c & = q \\ x + 2y & = q \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} x + 2y & = q \\ x + 2(x - p) & = q \\ x + 2x - 2p & = q \\ 3x & = q + 2p \\ x & = \frac{q + 2p}{3} \end{align} $
Kita peroleh $ x = \frac{q + 2p}{3} \rightarrow {}^a \log b = \frac{q + 2p}{3} $
Jadi, bentuk $ {}^a \log b = \frac{q + 2p}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Grafik fungsi $ f(x) = (3-m)x^2 + (1-m)x - 2m $ memotong sumbu Y di titik A dan mempunyai sumbu simetri garis $ x = -1 $. Gradien garis melalui titik puncak kurva dan titik A adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $
-). Persamaan sumbu simetrinya : $ x = \frac{-b}{2a} $
-). Titik puncaknya : $(x_p,y_p) $ dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p = f(x_p) $
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ x_2,y_2) $ :
$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} $
*). Untuk mencari titik potong sumbu Y, maka substitusi $ x = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi kuadrat : $ f(x) = (3-m)x^2 + (1-m)x - 2m $
dengan $ a = 3 - m , \, b = 1 - m , \, c = -2m $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan sumbu simetri $ x = -1 $ :
$ \begin{align} x & = -1 \\ \frac{-b}{2a} & = -1 \\ b & = 2a \\ 1-m & = 2(3-m) \\ 1-m & = 6 - 2m \\ 2m - m & = 6 - 1 \\ m & = 5 \end{align} $
Sehingga fungsi kuadratnya menjadi :
$ f(x) = (3-m)x^2 + (1-m)x - 2m = (3-5)x^2 + (1-5)x - 2.5 $
$ f(x) = -2x^2 - 4x - 10 $
*). Menentukan titik A, substitusi $ x = 0 $ :
$ y = f(0) = -2.0^2 - 4.0 - 10 = -10 $
Sehingga titik $ A (0,-10) $.
*). Menentukan titik puncak $(x_p,y_p) $ :
$ \begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4}{2.(-2)} = -1 \\ y_p & = f(x_p) = f(-1) \\ & = -2.(-1)^2 - 4.(-1) - 10 = -2 + 4 - 10 = -8 \end{align} $
Sehingga titik puncaknya $ (x_p,y_p) = (-1,-8) $
*). Menentukan gradien garis melalui dua titik
$ (x_1,y_1) = (0,-10) $ dan $ (x_2,y_2) = (-1,-8) $
$ \begin{align} m & = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} = \frac{-8 - (-10)}{-1 - 0} \\ & = \frac{2}{-1} = -2 \end{align} $
Jadi, gradiennya adalah $ -2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Jumlah kuadrat semua nilai $ y $ yang memenuhi sistem persaman
$ \begin{align} & 2x^2 - 6y^2 + 3x + y - 1 = 0 \\ & x - 2y - 1 = 0 \end{align} $
adalah ....
A). $ \frac{215}{4} \, $ B). $ \frac{213}{4} \, $ C). $ \frac{211}{4} \, $ D). $ \frac{209}{4} \, $ E). $ \frac{207}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan persamaan kuadrat $ ay^2 + by + c = 0 $ dengan akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $
*). Operasi akar-akarnya :
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ y_1.y_2 = \frac{c}{a} $
$ y_1^2 + y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1.y_2 $
*). Jumlah kuadrat dari $ a $ dan $ b $ dapat ditulis
Jumlah kuadrat $ \, = a^2 + b^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan kedua :
$ x - 2y -1 = 0 \rightarrow x = 2y + 1 $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} 2x^2 - 6y^2 + 3x + y - 1 & = 0 \\ 2(2y + 1)^2 - 6y^2 + 3(2y + 1) + y - 1 & = 0 \\ 2y^2 + 15y + 4 & = 0 \\ a = 2, b = 15 , c & = 4 \\ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} & = \frac{-15}{2} \\ y_1 . y_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} & = 2 \end{align} $
*). Menentukan jumlah kuadrat nilai $ y $ :
$ \begin{align} y_1^2 + y_2^2 & = (y_1+y_2)^2 - 2.y_1.y_2 \\ & = \left(\frac{-15}{2} \right) ^2 - 2.2 \\ & = \frac{225}{4} - 4 = \frac{225}{4} - \frac{16}{4} \\ & = \frac{209}{4} \end{align} $
Jadi, jumlah kuadrat nilai $ y $ adalah $ \frac{209}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Pertaksamaan $ \frac{x-2}{2x+3} < 1 $ dapat ditulis sebagai $ |4x+a|>b $ , dengan nilai $ a $ dan $ b $ berturut-turut adalah ....
A). $ 7 \, $ dan $ 13 $
B). $ 13 \, $ dan $ 7 $
C). $ 6 \, $ dan $ 13 $
D). $ 13 \, $ dan $ -6 $
E). $ -13 \, $ dan $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pertidaksamaan mutlak :
$ |f(x)| > b \rightarrow f(x) < -b \, $ atau $ f(x) > b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align} \frac{x-2}{2x+3} & < 1 \\ \frac{x-2}{2x+3} - 1 & < 0 \\ \frac{x-2}{2x+3} - \frac{2x+3}{2x+3} & < 0 \\ \frac{-x-5}{2x+3} & < 0 \end{align} $
Akar-akar pembilang dan penyebutnya :
$ -x - 5 = 0 \rightarrow x = -5 $
$ 2x + 3 = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} $
Garis bilangannya :

Sehingga solusinya : $ x < -5 \vee x > -\frac{3}{2} $
*). Bentuk $ |4x + a | > b $ memiliki solusi yang sama dengan $ \frac{x-2}{2x+3} < 1 $ yaitu $ x < -5 \vee x > -\frac{3}{2} $
*). Sifat pertidaksamaan Mutlak
$ |4x + a| > b \, $ memiliki solusi :
$ \begin{align} 4x + a < -b \, & \vee \, 4x + a > b \\ 4x < -b - a \, & \vee \, 4x > b - a \\ x < \frac{-b - a}{4} \, & \vee \, x > \frac{b - a}{4} \\ \text{ yang sama } & \text{ dengan } \\ x < -5 \, & \vee \, x > -\frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga kita peroleh persamaan :
$ \frac{-b - a}{4} = -5 \rightarrow a + b = 20 \, $ ....(i)
$ \frac{b - a}{4} = -\frac{3}{2} \rightarrow -a + b = -6 \, $ ....(ii)
Selesaikan kedua persamaan ini, kita peroleh $ a = 13 $ dan $ b = 7 $.
Jadi, nilai $ a = 13 $ dan $ b = 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk AB adalah $ a $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang TAB dan ABCD dengan $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $ , maka panjang rusuk TA adalah ....
A). $ \frac{a}{8}\sqrt{44} \, $ B). $ \frac{a}{8}\sqrt{42} \, $ C). $ \frac{a}{10}\sqrt{41} \, $ D). $ \frac{a}{9}\sqrt{41} \, $ E). $ \frac{a}{8}\sqrt{41} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar perbandingan trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar:

Sudut antara TAB adan ABCD adalah $ \angle TEO = \alpha $
Nilai $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $ sehingga $ \cos \alpha = \frac{4}{5} $.
Panjang $ EO = EA = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}a $
Segitiga TAE siku-siku di E.
*). Menentukan Panjang TE dari $ \Delta TOE $ :
$ \begin{align} \cos \alpha & = \frac{4}{5} \\ \frac{EO}{TE} & = \frac{4}{5} \\ \frac{\frac{1}{2}a}{TE} & = \frac{4}{5} \\ TE & = \frac{5}{8} a \end{align} $
*). Menentukan Panjang TA dari $ \Delta TAE $ :
$ \begin{align} TA & = \sqrt{TE^2 + EA^2 } \\ & = \sqrt{\left(\frac{5}{8} a\right)^2 + \left(\frac{1}{2} a\right)^2 } \\ & = \sqrt{\frac{25}{64} a^2 + \frac{1}{4} a^2 } \\ & = \sqrt{\frac{41}{64} a^2 } = \frac{a}{8}\sqrt{41} \end{align} $
Jadi, panjang $ TA = \frac{a}{8}\sqrt{41} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Vektor $ \vec{w} $ merupakan vektor proyeksi tegak lurus vektor $ (a, 1-a, a) $ pada vektor $ (-1,-1,1) $. Jika panjang $ \vec{w} $ adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $ , maka di antara nilai $ a $ berikut ini yang memenuhi adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $
-). Panjang vektor $ \vec{a} $ disimbolkan $ |\vec{a}| $
$ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } $
-). Perkalian dot : $ \vec{a}.\vec{b} = a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
*). Panjang proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ adalah
Panjang proyeksi $ = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| $
*). Sifat bentuk mutlak :
$ |f(x)|^2 = [f(x)]^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui (permisalan):
$ \vec{a} = (a, 1-a, a) \, $ dan $ \vec{b} = (-1,-1,1) $
panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $
*). Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} $ dan $ |\vec{b}| $ :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = a.(-1) + (1-a).(-1) + a.1 \\ & = a - 1 \\ |\vec{b}| & = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} \text{panjang proyeksi } & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ \left| \frac{a - 1}{\sqrt{3}} \right| & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ \frac{|a - 1|}{\sqrt{3}} & = \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ |a - 1| & = \frac{2}{3}\sqrt{3}. \sqrt{3} \\ |a - 1| & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ |a - 1|^2 & = 2^2 \\ (a - 1)^2 & = 4 \\ a^2 - 2a + 1 & = 4 \\ a^2 - 2a -3 & = 0 \\ (a + 1)(a - 3) & = 0 \\ a = -1 \vee a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = -1 \, $ atau $ a = 3 $ (C) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas

Lingkaran dengan titik pusat $(a,b)$ menyinggung sumbu $ x $ dan garis $ y = x $ jika jari-jari $ |b|$ dan
A). $ a - (\sqrt{2} +1) b = 0 \, $
B). $ a - (\sqrt{2} -1) b = 0 \, $
C). $ (\sqrt{2} +1) a - b = 0 \, $
D). $ (\sqrt{2} -1)a - b = 0 \, $
E). $ a - \sqrt{2} b = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Lingkaran dengan titik pusat $ P(a,b) $ menyinggung sumbu X memiliki jari-jari $ = |b| $.
*). Lingkaran menyinggung garis $ y = x $, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis tersebut.
*). Jarak titik $ (a,b) $ ke garis $ mx + ny + c = 0 $ :
Jarak $ = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2+n^2}} \right| $
*). Bentuk harga mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{ untuk } x < 0 \end{array} \right. $
dan
$ |x-y| = \left\{ \begin{array}{cc} x-y & , \text{ untuk } x \geq y \\ -(x - y) & , \text{ untuk } x < y \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :

Ada dua kemungkinan bentuk lingkarannya yaitu di kuadran I atau kuadran III :
*). Lingkaran di Kuadran I (pertama) :
Nilai $ b > 0 $ dan $ a > b $ sehingga $ |b| = b $ dan $ |a-b| = a-b $ dengan jari-jari lingkaran adalah $ |b| $. Jari-jari lingkaran juga sama dengan jarak titik pusat $(a,b) $ ke garis $ x - y = 0 $, sehingga
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{x - y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| \\ r & = \left| \frac{a - b}{\sqrt{2}} \right| \\ |b| & = \frac{|a - b|}{\sqrt{2}} \\ \sqrt{2}|b| & = |a-b| \\ \sqrt{2}b & = a-b \\ 0 & = a-b - \sqrt{2}b \\ 0 & = a- ( \sqrt{2} + 1) b \end{align} $
Artinya $ a - (\sqrt{2} + 1 ) b = 0 \, $ .....(i)
*). Lingkaran di Kuadran III (ketiga) :
Nilai $ b < 0 $ dan $ a < b $ sehingga $ |b| = -b $ dan $ |a-b| = -(a-b) $ dengan jari-jari lingkaran adalah $ |b| $. Jari-jari lingkaran juga sama dengan jarak titik pusat $(a,b) $ ke garis $ x - y = 0 $, sehingga
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{x - y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| \\ r & = \left| \frac{a - b}{\sqrt{2}} \right| \\ |b| & = \frac{|a - b|}{\sqrt{2}} \\ \sqrt{2}|b| & = |a-b| \\ \sqrt{2}.(-b) & = -(a-b) \, \, \, \, \, \, \text{(kali } -1) \\ \sqrt{2}b & = a-b \\ 0 & = a-b - \sqrt{2}b \\ 0 & = a- ( \sqrt{2} + 1) b \end{align} $
Artinya $ a - (\sqrt{2} + 1 ) b = 0 \, $ .....(ii)
Bentuk (i) dan (ii) sama, sehingga kita peroleh $ a - (\sqrt{2} + 1 ) b = 0 $
Jadi, $ a - (\sqrt{2} + 1 ) b = 0 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM Matematika IPA tahun 2009

Nomor 1

Nomor 2

Nomor 3

Nomor 4

Nomor 5

Nomor 6

Nomor 7

Nomor 8

Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ 2^{x+1} + \frac{1}{2^{x-3}} = 17 $ , maka $ x_1^2 + x_2^2 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 13 $

Nomor 9

Nomor 10

Fungsi $ f(x) = x^3 + 3kx^2 - 9k^2x - 4 $ turun dalam selang $ -2 < x < 6 $ jika $ k = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

Nomor 11

Nomor 12

Nomor 13

Nomor 14

Nomor 15

Pages - Menu