Pembahasan Volume Integral UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Volume benda putar jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = \sqrt{x-1} $ dan $ y = x^2 - 2x + 1 $ diputar terhadap garis $ x = 2 $ sama dengan ... satuan volume.
A). $ \frac{3}{10}\pi \, $ B). $ \frac{1}{3}\pi \, $ C). $ \frac{2}{5}\pi \, $ D). $ \frac{11}{30}\pi \, $ E). $ \frac{3}{5}\pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Volume Integral
*). Suatu daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ dan $ y = g(x) $ berpotongan di $ y = a $ dan $ y = b $ diputar mengililingi garis $ x = h $, volume benda putar yang terbentuk adalah
$ \, \, \pi \int \limits_a^b [(f(y)-h)^2 - (g(y)-h)^2] \, dy $
(kurva terjauh $ - $ kurva terdekat sumbu putar)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

*). Mengubah bentuk fungsi menjadi $ f(y) $ dan $ g(y) $ :
-). Kurva paling jauh $ y = \sqrt{x - 1} $ sebagai $ y = f(x) $
$ y =\sqrt{x-1} \rightarrow x-1 = y^2 \rightarrow x = y^2 + 1 \rightarrow f(y) = y^2 + 1 $
-). Kurva paling dekat $ y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 $ sebagai $ y = g(x) $
$ y =(x-1)^2 \rightarrow x-1 = \sqrt{y} \rightarrow x = \sqrt{y} + 1 \rightarrow g(y) = \sqrt{y} + 1 $
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$ \begin{align} f(y) & = g(y) \\ y^2 + 1 & = \sqrt{y} + 1 \\ y^2 & = \sqrt{y} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ y^4 & = y \\ y^4 - y & = 0 \\ y(y^3 - 1) & = 0 \\ y = 0 \vee y^3 & = 1 \\ y = 0 \vee y & = 1 \end{align} $
*). Menentukan volume diputar terhadap garis $ x = 2 $ :
$ \begin{align} & \pi \int \limits_a^b [(f(y)-h)^2 - (g(y)-h)^2] \, dy \\ & = \pi \int \limits_0^1 [((y^2+1)-2)^2 - ((\sqrt{y}+1) - 2)^2] \, dy \\ & = \pi \int \limits_0^1 [(y^2 - 1)^2 - (\sqrt{y}- 1 )^2] \, dy \\ & = \pi \int \limits_0^1 [(y^4 - 2y^2 + 1) - (y - 2\sqrt{y} + 1 ) ] \, dy \\ & = \pi \int \limits_0^1 [y^4 - 2y^2 - y + 2\sqrt{y} ] \, dy \\ & = \pi [\frac{1}{5}y^5 - \frac{2}{3}y^3 - \frac{1}{2}y^2 + \frac{4}{3} y^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = \pi [\frac{1}{5}.1^5 - \frac{2}{3}.1^3 - \frac{1}{2}.1^2 + \frac{4}{3} .1^\frac{3}{2} ] - [0] \\ & = \pi [\frac{1}{5} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{4}{3} ] \\ & = \pi [\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} ] \\ & = \pi [\frac{6}{30} + \frac{20}{30} - \frac{15}{30} ] = \frac{11}{30} \pi \end{align} $
Jadi, volumenya adalah $ \frac{11}{30} \pi . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar