Pembahasan Transformasi UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Bayangan kurva $ y = \sin x $ oleh refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi berpusat di O(0,0) dan faktor skala $ \frac{1}{2} $ adalah kurva ....
A). $ y = \sin 2x $
B). $ y = \frac{1}{2} \sin x $
C). $ y = \sin x \cos x $
D). $ y = -\sin x \cos x $
E). $ y = -\sin 2x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Matriks gabungan dari ransformasi $ T_1 $ dilanjutkan $ T_2 $ adalah $ MT = T_2.T_1 $.
*). Cara menentukan bayangan :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = MT. \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). RUmus sudut ganda trigonometri :
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks masing-masing :
-). $ T_1 = \, $ refleksi terhadap sumbu X
Matriksnya : $ T_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
-). $ T_2 = \, $ dilatasi berpusat di O(0,0) dan faktor skala $ \frac{1}{2} $
Matriksnya : $ T_2 = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) $
-). Matriks gabunga (komposisinya) :
$ \begin{align} MT & = T_2 . T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Hubungan titik bayangan dan titik awal :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right)& = MT. \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right)& = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right)& = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}x \\ -\frac{1}{2}y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = \frac{1}{2}x \rightarrow x = 2x^\prime $
$ y^\prime = -\frac{1}{2}y \rightarrow y = -2y^\prime $
*). Menentukan bayangan persamaan dengan persamaan awal $ y = \sin x $ :
$ \begin{align} y & = \sin x \\ -2y^\prime & = \sin 2x^\prime \\ -2y & = \sin 2x \\ y & = -\frac{1}{2}\sin 2x \\ y & = -\frac{1}{2}.2\sin x \cos x \\ y & = -\sin x \cos x \end{align} $
Jadi, bayangannya adalah $ y = -\sin x \cos x . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar