Pembahasan Vektor UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui kubus satuan ABCD.EFGH. Misalkan vektor-vektor : $ \vec{AB}=\vec{i} = (1,0,0) $, $ \vec{AD}=\vec{j}=(0,1,0)$ , dan $ \vec{AE}=\vec{k}=(0,0,1)$. Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Vektor proyeksi $ \vec{FP} $ ke vektor $ \vec{AC} $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{2}}{2} \, $ B). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} \, $ C). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} (0,1,1) \, $
D). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} (1,1,0) \, $ E). $ \frac{1}{4} (1,1,0) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor $ \vec{p} = (p_1,p_2,p_3) $ dan $ \vec{q}=(q_1,q_2,q_3) $
-). Perkalian dot :
$ \vec{p}.\vec{q} = p_1q_1 + p_2q_2 + p_3q_3 $
-). Panjang vektor $ \vec{q} $ :
$ |\vec{q}| = \sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2} $
*). Vektor proyeksi $ \vec{p} $ pada $ \vec{q} $ adalah
$ = \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|^2} \vec{q} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

*). Menentukan vektor $ \vec{FP} $ dan $ \vec{AC} $ :
-). Kesamaan : $ \vec{BC}=\vec{AD} $ dan $ \vec{FB} = \vec{EA} = - \vec{AE} $
-). Vektor $ \vec{AC} = \vec{AB}+\vec{BC} = (1,0,0) + (0,1,0) = (1,1,0) $
-). Vektor $ \vec{FC} = \vec{FB}+\vec{BC} = (0,0,-1) + (0,1,0) = (0,1,-1) $
-). Vektor $ \vec{FP} = \frac{1}{2}\vec{FC} = \left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right) $
*). Menentukan perkalian dot dan panjang :
-). $ \vec{FP}.\vec{AC} = \left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right). (1,1,0) = 0 + \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2} $
-). $ |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2 } = \sqrt{2} \rightarrow |\vec{AC}|^2 = 2 $
*). Menentukan vektor proyeksi $ \vec{FP} $ pada $ \vec{AC} $ :
$ \begin{align} & = \frac{\vec{FP}.\vec{AC}}{|\vec{AC}|^2} \vec{AC} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{2} (1,1,0) \\ & = \frac{1}{4} (1,1,0) \end{align} $
Jadi, vektor proyeksinya adalah $ \frac{1}{4} (1,1,0) . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar