Pembahasan Daerah Hasil SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 226

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = 1 - x^2 $ dan $ g(x) = \sqrt{5 - x } $ , maka daerah hasil fungsi komposisi $ f \circ g \, $ adalah ....
A). $\{ y | -\infty < y < \infty \} $
B). $\{ y | y \leq -1 \, \text{ atau } \, y \geq 1 \} $
C). $\{ y | y \leq 5 \, \} $
D). $\{ y | y \leq 1 \} $
B). $\{ y | -1 \leq y \leq 1 \} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Daerah asal fungsi komposisi
*). Daerah hasil (range) suatu fungsi dapat kita tentukan dengan mensubstitusi daerah asalnya.
*). Daerah asal (domain) :
Daerah asal fungsi $ g $ adalah $ D_g $.
Misalkan $ y = (f \circ g)(x) $, daerah asalnya $ D_y$.
Daerah asal fungsi $ f \circ g = \{ D_g \cap D_y \} $
*). Daerah asal adalah nilai variabel awal (biasanya $ x $) yang bisa disubstitusikan ke fungsinya.
*). Komposisi fungsi : $ ( f\circ g)(x) = f(g(x)) $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Daerah asal $ g(x) = \sqrt{5 - x } $.
$ 5 - x \geq 0 \rightarrow -x \geq -5 \rightarrow x \leq 5 $
$ D_f = \{ x \leq 5 \} $.
*). Menentukan nilai $ f \circ g $ :
$\begin{align} y & = (f \circ g)(x) \\ & = f(g(x)) \\ & = f( \sqrt{5 - x } ) \\ & = 1 - (\sqrt{5 - x })^2 \\ & = 1 - (5 - x ) \\ & = x - 4 \end{align} $
Daerah asal dari $ y = x - 4 $ adalah semua bilangan real.
$ D_y = \{ x \in R \} $.
*). Menentukan Daerah asal dari $ f \circ g ) $ :
$\begin{align} D_{f \circ g} & = D_g \cap D_y \\ & = \{ x \leq 5 \} \cap \{ x \in R \} \\ & = \{ x \leq 5 \} \end{align} $
*). Menentukan daerah hasil fungsi $ y = ( f \circ g)(x) = x - 4 $ dengan domain $ \{ x \leq 5 \} $ :
$ \begin{align} y & = x - 4 \rightarrow y \leq 5 - 4 \rightarrow y \leq 1 \end{align} $
Sehingga daerah hasilnya $ R_{f \circ g} = \{ y | y \leq 1 \} $
Jadi, daerah hasil dari $ f \circ g $ adalah $ \{ y | y \leq 1 \} . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Bisa juga menentukan daerah hasilnya seperti berikut ini,
diketahui : $ y = x - 4 \, $ dan $ x \leq 5 $ .
$ x \leq 5 \rightarrow x - 4 \leq 5 - 4 \rightarrow x - 4 \leq 1 \rightarrow y \leq 1 $.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar