Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 138

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung dari kurva $ y = \frac{x}{x+2} $ yang melalui titik $ (-2,0) $ adalah ......
A). $ x + 8y + 2 = 0 \, $
B). $ -x + 4y - 2 = 0 \, $
C). $ x + 4y + 2 = 0 \, $
D). $ x - 8y + 2 = 0 \, $
E). $ x - 2y + 2 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x - x_1) $
*). Turunan fungsi bentuk pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime }{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan titik singgungnya adalah $ (x_1,y_1) = (a,b) $
*). Substitusi $ (a,b) $ ke fungsinya :
$ \begin{align} y & = \frac{x}{x+2} \rightarrow b = \frac{a}{a+2} \end{align} $
*). Menentukan turunan dan gradien garis singgungnya :
$ \begin{align} y & = \frac{x}{x+2} = \frac{U}{V} \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = x + 2 \rightarrow V^\prime = 1 \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime }{V^2} \\ & = \frac{1 . (x+2) - x . 1 }{(x+2)^2} \\ y^\prime & = \frac{2}{(x+2)^2} \\ m & = f^\prime (a) = \frac{2}{(a + 2)^2} \end{align} $
*). Menyusun PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - b & = m(x - a) \\ y - \frac{a}{a + 2} & = \frac{2}{(a+2)(a+2)} (x - a) \end{align} $
*). Substitusi titik $ (-2,0) $ yang dilalui oleh garis singgungnya :
$ \begin{align} y - \frac{a}{a + 2} & = \frac{2}{(a+2)(a+2)} (x - a) \\ 0 - \frac{a}{a + 2} & = \frac{2}{(a+2)(a+2)} (-2 - a) \\ - \frac{a}{a + 2} & = \frac{2}{(a+2)(a+2)} . -(a+2) \\ - \frac{a}{a + 2} & = - \frac{2}{(a+2)} \\ a & = 2 \end{align} $
*). Substitusi $ a = 2 $ ke PGS nya :
$ \begin{align} y - \frac{a}{a + 2} & = \frac{2}{(a+2)(a+2)} (x - a) \\ y - \frac{2}{2 + 2} & = \frac{2}{(2+2)(2+2)} (x - 2) \\ y - \frac{2}{4} & = \frac{2}{16} (x - 2) \\ y - \frac{1}{2} & = \frac{1}{8} (x - 2) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 8)} \\ 8y - 4 & = (x - 2) \\ x - 8y + 2 & = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x - 8y + 2 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar