Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 137

Soal yang Akan Dibahas
Banyak bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{|x-2|+2}{|x-2|-2} \geq 2 $ adalah .....
A). $ 4 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $


$\clubsuit $ Pembahasan
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} x -2 & , \text{untuk } x - 2 \geq 0 & \rightarrow x \geq 2 \\ -(x-2) & , \text{untuk } -x + 2 < 0 & \rightarrow x < 2 \end{array} \right. $
Artinya bentuk mutlak kita bagi menjadi dua berdasarkan batas $ x $ yaitu untuk $ x \geq 2 $ dan untuk $ x < 2 $.
*). Untuk $ x \geq 2 $ , maka $ |x-2| = x-2 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{|x-2|+2}{|x-2|-2} & \geq 2 \\ \frac{x-2+2}{x-2-2} - 2 & \geq 0 \\ \frac{x }{x-4} - \frac{2(x-4)}{x-4} & \geq 0 \\ \frac{x }{x-4} - \frac{2x-8}{x-4} & \geq 0 \\ \frac{-x + 8 }{x-4} & \geq 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ -x + 8 = 0 \rightarrow x = 8 $
$ x - 4 = 0 \rightarrow x = 4 $
Garis bilangannya :

Karena syaratnya $ x \geq 2 $ , maka
HP1 $ = \{ x \geq 2 \} \cap \{ 4 < x \leq 8 \} = \{ 4 < x \leq 8 \} $
*). Untuk $ x < 2 $ , maka $ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{|x-2|+2}{|x-2|-2} & \geq 2 \\ \frac{-x+2+2}{-x+2-2} - 2 & \geq 0 \\ \frac{-x + 4 }{-x} - 2 & \geq 0 \\ \frac{x - 4 }{x} - \frac{2x}{x} & \geq 0 \\ \frac{-x - 4 }{x} & \geq 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ -x - 4 = 0 \rightarrow x = -4 \, $ dan $ x = 0 $
Garis bilangannya :
 

Karena syaratnya $ x < 2 $ , maka
HP2 $ = \{ x < 2 \} \cap \{ -4 \leq x < 0 \} = \{ -4 \leq x < 0 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 \\ & = \{ 4 < x \leq 8 \} \cup \{ -4 \leq x < 0 \} \\ & = \{ -4 \leq x < 0 \} \vee \{ 4 < x \leq 8 \} \end{align} $
Banyak bilangan bulat $ x = \{ -4, -3, -2, -1, 5, 6, 7, 8 \} $.
Jadi, penyelesaiannya ada 8 bilangan bulat $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar