Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} = .... $
A). $ -\infty \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ + \infty $
A). $ -\infty \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ + \infty $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A $
*). Dengan pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ maka
$ 1 - \cos ^2 A = (1 - \cos A)(1 + \cos A) $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A $
*). Dengan pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ maka
$ 1 - \cos ^2 A = (1 - \cos A)(1 + \cos A) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \csc y - \cot y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{\sin y} - \frac{\cos y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos y}{\sin y} \, \, \, \, \text{(kalikan } \frac{\sin y}{\sin y} ) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos y}{\sin y} \times \frac{\sin y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{\sin ^2 y} \, \, \, \, \, \, \text{(identitas trigono)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{1 - \cos ^2 y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{(1 - \cos y)(1 + \cos y)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin y }{ (1 + \cos y)} \\ & = \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{2} = 0 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \csc y - \cot y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{\sin y} - \frac{\cos y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos y}{\sin y} \, \, \, \, \text{(kalikan } \frac{\sin y}{\sin y} ) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos y}{\sin y} \times \frac{\sin y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{\sin ^2 y} \, \, \, \, \, \, \text{(identitas trigono)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{1 - \cos ^2 y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{(1 - \cos y)(1 + \cos y)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin y }{ (1 + \cos y)} \\ & = \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{2} = 0 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.