Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari
$ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} = \frac{1}{(x^2 - 4x + 4)^{-2x + 1}} $ , $ x \neq 2 $
adalah ......
A). $ \{1,2\} \, $ B). $ \{-2,2\} \, $ C). $ \{-2,3\} \, $
D). $ \{-2,1,3\} \, $ E). $ \{-2,1,2,3\} \, $
$ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} = \frac{1}{(x^2 - 4x + 4)^{-2x + 1}} $ , $ x \neq 2 $
adalah ......
A). $ \{1,2\} \, $ B). $ \{-2,2\} \, $ C). $ \{-2,3\} \, $
D). $ \{-2,1,3\} \, $ E). $ \{-2,1,2,3\} \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian persamaan eksponen :
Bentuk $[ h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian :
(1). $ f(x) = g(x) $
(2). $ h(x) = 1 $
(3). $ h(x) = 0 \, $ dengan syarat pangkatnya sama-sama positif.
(4). $ h(x) = -1 \, $ dengan syarat pangkatnya sama-sama genap atau ganjil.
*). Penyelesaian persamaan eksponen :
Bentuk $[ h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian :
(1). $ f(x) = g(x) $
(2). $ h(x) = 1 $
(3). $ h(x) = 0 \, $ dengan syarat pangkatnya sama-sama positif.
(4). $ h(x) = -1 \, $ dengan syarat pangkatnya sama-sama genap atau ganjil.
$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengubah bentuk persamaannya :
$\begin{align} (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{(x^2 - 4x + 4)^{-2x + 1}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{[(x-2)^2]^{-2x + 1}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{(x-2)^{-4x + 2}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = (x-2)^{-(-4x + 2)} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = (x-2)^{4x - 2 } \\ [h(x)]^{f(x)} & = [h(x)]^{g(x)} \end{align} $
artinya $ h(x) = x-2 , f(x) = x^2 + 4x - 6 , g(x) = 4x - 2 $
dengan syarat $ x \neq 2 $.
*).Menentukan penyelesaiannya :
-). Pertama : $ f(x) = g(x) $
$\begin{align} x^2 + 4x - 6 & = 4x - 2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
Karena syaratnya $ x \neq 2 $ , maka $ x_1 = -2 $ yang memenuhi.
-). Kedua : $ h(x) = 1 $
$\begin{align} x - 2 & = 1 \\ x_2 & = 3 \end{align} $
-). Ketiga : $ h(x) = 0 $
$\begin{align} x - 2 & = 0 \\ x & = 2 \end{align} $
karena $ x \neq 2 $ , maka solusi ketiga ini tidak memenuhi.
-). Kedua : $ h(x) = -1 \, $ dengan pangkatnya sama-sama genap atau ganjil
$\begin{align} x - 2 & = -1 \\ x & = 1 \end{align} $
Kita cek nilai pangkat untuk $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow f(1) = 1^2 + 4.1 - 6 = -1 \, $ (ganjil)
$ x = 1 \rightarrow g(1) = 4.1-2 = 2 \, $ (genap)
karena nilai pangkat untuk $ x = 1 $ tidak sama-sama genap atau ganjil, maka solusi keempat ini tidak memenuhi.
Sehingga solusinya adalah $ \{ -2, 3 \} $
Jadi, HP $ = \{ -2, 3 \} . \, \heartsuit $
*).Mengubah bentuk persamaannya :
$\begin{align} (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{(x^2 - 4x + 4)^{-2x + 1}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{[(x-2)^2]^{-2x + 1}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{(x-2)^{-4x + 2}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = (x-2)^{-(-4x + 2)} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = (x-2)^{4x - 2 } \\ [h(x)]^{f(x)} & = [h(x)]^{g(x)} \end{align} $
artinya $ h(x) = x-2 , f(x) = x^2 + 4x - 6 , g(x) = 4x - 2 $
dengan syarat $ x \neq 2 $.
*).Menentukan penyelesaiannya :
-). Pertama : $ f(x) = g(x) $
$\begin{align} x^2 + 4x - 6 & = 4x - 2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
Karena syaratnya $ x \neq 2 $ , maka $ x_1 = -2 $ yang memenuhi.
-). Kedua : $ h(x) = 1 $
$\begin{align} x - 2 & = 1 \\ x_2 & = 3 \end{align} $
-). Ketiga : $ h(x) = 0 $
$\begin{align} x - 2 & = 0 \\ x & = 2 \end{align} $
karena $ x \neq 2 $ , maka solusi ketiga ini tidak memenuhi.
-). Kedua : $ h(x) = -1 \, $ dengan pangkatnya sama-sama genap atau ganjil
$\begin{align} x - 2 & = -1 \\ x & = 1 \end{align} $
Kita cek nilai pangkat untuk $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow f(1) = 1^2 + 4.1 - 6 = -1 \, $ (ganjil)
$ x = 1 \rightarrow g(1) = 4.1-2 = 2 \, $ (genap)
karena nilai pangkat untuk $ x = 1 $ tidak sama-sama genap atau ganjil, maka solusi keempat ini tidak memenuhi.
Sehingga solusinya adalah $ \{ -2, 3 \} $
Jadi, HP $ = \{ -2, 3 \} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.