Cara 2 Pembahasan PGS Kurva SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Segitiga yang dibatasi oleh sumbu $ x $ , sumbu $ y $ , dan garis singgung pada kurva $ y = \frac{1}{3}x^3 + 1 $ di titik $ P(a,b) $ pada kuadran II, berbentuk segitiga sama kaki. Nilai $ ab $ adalah .....
A). $ -\frac{2}{3} \, $ B). $ -\frac{23}{48} \, $ C). $ -\frac{86}{243} \, $ D). $ -\frac{191}{768} \, $ E). $ -\frac{374}{1875} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung kurva (PGSV) $ y = f(x) $ di titik singgung $ (x_1,y_1) $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, y-y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Gradien ( $ m $) adalah kemiringan garis dengan $ m = \tan \theta $
dimana $ \theta $ = sudut yang dibentuk oleh garis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan garis singgung di titik $ P(a,b) $ :
Kurva : $ y = \frac{1}{3}x^3 + 1 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 $
Karena $ P(a,b) $ ada di kuadran II, maka $ a < 0 $ (negatif).
*). Substitusi titik $ P(a,b) $ ke kurva :
$ x = a \rightarrow b = \frac{1}{3}a^3 + 1 $
*). Gradien garis singgung :
$ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (a) = a^2 $
*). Ilustrasi gambar.
 

*). Karena $ \Delta MNO $ sama kaki, maka MO = NO
sehingga $ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{NO}{MO} \rightarrow \tan \theta = 1 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dari gradien :
$ m = \tan \theta \rightarrow a^2 = 1 \rightarrow a = \pm 1 $
Karena $ a < 0 $ , maka yang memenuhi $ a = -1 $.
sehingga nilai $ b $ :
$ b = \frac{1}{3}a^3 + 1 = \frac{1}{3}.(-1)^3 + 1 = \frac{2}{3} $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = -1. \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = -\frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar