Pembahasan PGS Kurva SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Segitiga yang dibatasi oleh sumbu $ x $ , sumbu $ y $ , dan garis singgung pada kurva $ y = \frac{1}{3}x^3 + 1 $ di titik $ P(a,b) $ pada kuadran II, berbentuk segitiga sama kaki. Nilai $ ab $ adalah .....
A). $ -\frac{2}{3} \, $ B). $ -\frac{23}{48} \, $ C). $ -\frac{86}{243} \, $ D). $ -\frac{191}{768} \, $ E). $ -\frac{374}{1875} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung kurva (PGSV) $ y = f(x) $ di titik singgung $ (x_1,y_1) $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, y-y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis singgung di titik $ P(a,b) $ :
Kurva : $ y = \frac{1}{3}x^3 + 1 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 $
Karena $ P(a,b) $ ada di kuadran II, maka $ a < 0 $ (negatif).
-). Menentukan titik singgungnya :
$ x = a \rightarrow b = \frac{1}{3}a^3 + 1 $
sehingga titik singgungnya :
$ (x_1,y_1) = (a,b) = \left( a, \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) $
-). Menentukan gradien garis singgungnya :
$ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (a) = a^2 $
-). Menentukan persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \end{align} $
*). Menentukan titik potong (tipot) garis singgung terhadap sumbu-sumbu koordinat:
-). Tipot sumbu X : substitusi $ y = 0 $
$\begin{align} y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \\ 0 - \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \\ -\frac{1}{3}a^3 - 1 & = a^2x-a^3 \\ a^2x & = \frac{2}{3}a^3 - 1 \\ x & = \frac{\frac{2}{3}a^3 - 1}{a^2} \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu X : $ M\left(\frac{\frac{2}{3}a^3 - 1}{a^2} ,0 \right) $
-). Tipot sumbu Y : substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \\ y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(0-a) \\ y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = -a^3 \\ y & = -\frac{2}{3}a^3 + 1 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y : $ N\left(0,-\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) $
*). Ilustrasi gambar.
 

*). Karena $ \Delta MNO $ sama kaku, maka MO = NO :
$\begin{align} MO & = NO \\ 0 - \left(\frac{\frac{2}{3}a^3 - 1}{a^2} \right) & = \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) - 0 \\ \left(\frac{-\frac{2}{3}a^3 + 1}{a^2} \right) & = \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) - 0 \\ \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2 \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) \\ 1 & = a^2 \\ a & = \pm 1 \end{align} $
Karena $ a < 0 $ , maka yang memenuhi $ a = -1 $.
sehingga nilai $ b $ :
$ b = \frac{1}{3}a^3 + 1 = \frac{1}{3}.(-1)^3 + 1 = \frac{2}{3} $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = -1. \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = -\frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar