Pembahasan Barisan Himpunan SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ (a_n) $ dan $ (b_n) $ adalah dua barisan aritmetika dengan $ a_1=5 $ , $ a_2 = 8 $ , $ b_1 = 3 $ , dan $ b_2 = 7 $. Jika $ A = \{ a_1, a_2, ...,a_{100} \} $ dan $ B = \{ b_1, b_2 , ... , b_{100} \} $ , maka banyaknya anggota $ A \cap B $ adalah .....
A). $ 20 \, $ B). $ 21 \, $ C). $ 22 \, $ D). $ 23 \, $ E). $ 24 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
*). Irisan dua himpunan hasilnya adalah anggota yang sama (ambil anggota yang sama saja).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Rumus suku ke-$n$ barisan $ a_n $ :
$ a_1 = 5 $ dan $ a_2 = 8 $, beda : $ b = 8-5=3 $
suku pertama : $ a = 5 $
-). Rumus $ a_n $ :
$\begin{align} a_n & = a + (n-1)b \\ & = 5 + (n-1).3 \\ a_n & = 3n + 2 \\ a_{100} & = 3 \times 100 + 2 = 302 \end{align} $
-). Barisan $ a_n $ nya yaitu :
$ A = \{ a_1, a_2, ...,a_{100} \} $
$ A = \{ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ..., 302 \} $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan $ b_n $ :
$ b_1 = 3 $ dan $ b_2 = 7 $, beda : $ b = 7-3=4 $
suku pertama : $ a = 3 $
-). Rumus $ b_n $ :
$\begin{align} b_n & = a + (n-1)b \\ & = 3 + (n-1).4 \\ b_n & = 4n -1 \\ b_{100} & = 4 \times 100 -1 = 399 \end{align} $
-). Barisan $ b_n $ nya yaitu :
$ B = \{ b_1, b_2 , ... , b_{100} \} $
$ B = \{ 3,7,11,15,19,23,27,...,399 \} $
*). Menentukan irisan A dan B
$\begin{align} A \cap B & = \{ 11, 23, 35, 47, ..... \} \end{align} $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan : 11, 23, 35,...
$ b = 23-11=12 $, dan $ a = 11 $
-). Rumus $ u_n $ :
$\begin{align} u_n & = a + (n-1)b \\ & = 11 + (n-1).12 \\ u_n & = 12n - 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ n $ :
Sebelumnya kita peroleh $ a_{100} = 302 $ dan $ b_{100}= 399 $ , artinya $ a_{100} < b_{100} $ sehingga nilai $ u_n= 12n-1 $ paling besar sama dengan $ a_{100} $.
$\begin{align} u_n & \leq a_{100} \\ 12n - 1 & \leq 302 \\ 12n & \leq 303 \\ n & \leq \frac{303}{12} \\ n & \leq 25, 25 \end{align} $
Artinya nilai terbesar $ n $ adalah $ n = 25 $.
Sehingga dapat kita simpulkan bahwa banyaknya anggota $ A \cap B $ ada 25 anggota. Berikut rincian lengkapnya :
$ A \cap B = $ { 11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119, 131, 143, 155, 167, 179, 191, 203, 215, 227, 239, 251, 263, 275, 287, 299 } .
Jadi, banyaknya anggota $ A \cap B $ adalah 25 (tidak ada jawaban) $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar