Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ O(0,0) $ , $ A(1,0) $ , $ B(2,0) $ , $ C(2,y) $ , dan $ D(0,y) $. Nilai
$ \displaystyle \lim_{y \to 1 } \frac{\text{keliling } \square ABCD}{\text{keliling }
\Delta ACD} $ adalah ...
A). $ \frac{1}{2}(2\sqrt{3} + 3) \, $ B). $ \frac{1}{4}(3\sqrt{2} + 2) \, $ C). $ \frac{1}{2}(\sqrt{3} + 1) \, $
D). $ \frac{1}{2}(3\sqrt{2} -2) \, $ E). $ \frac{1}{4}(3\sqrt{2} -2) $
A). $ \frac{1}{2}(2\sqrt{3} + 3) \, $ B). $ \frac{1}{4}(3\sqrt{2} + 2) \, $ C). $ \frac{1}{2}(\sqrt{3} + 1) \, $
D). $ \frac{1}{2}(3\sqrt{2} -2) \, $ E). $ \frac{1}{4}(3\sqrt{2} -2) $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep Penyelesaian Limit :
Untuk menyelesaian limit, cara yang paling mendasar adalah dengan substitusi.
$ \displaystyle \lim_{y \to a } \frac{f(y)}{g(y)} = \frac{f(a)}{g(a)} $
*). Jarak dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
Jarak $ = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Keliling bangun datar :
Keliling = jumlah semua sisi-sisinya.
*). Konsep Penyelesaian Limit :
Untuk menyelesaian limit, cara yang paling mendasar adalah dengan substitusi.
$ \displaystyle \lim_{y \to a } \frac{f(y)}{g(y)} = \frac{f(a)}{g(a)} $
*). Jarak dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
Jarak $ = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Keliling bangun datar :
Keliling = jumlah semua sisi-sisinya.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar detailnya :
Dari gambar tersebut kita peroleh panjang sisi-sisi :
$ OD = y , OA = 1, AB = 1, CD = 2, BC = y $
$ AD = \sqrt{(0-1)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{ 1 + y^2 } $
$ AC = \sqrt{(2-1)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{ 1 + y^2 } $
*). Menentukan keliling masing-masing :
$\begin{align} \text{Keliling ABCD } & = AB + BC + CD + AD \\ & = 1 + y + 2 + \sqrt{y^2 + 1} \\ & = y + 3 + \sqrt{y^2 + 1} \\ \text{Keliling ACD } & = AC + CD + AD \\ & = \sqrt{y^2 + 1} + 2 + \sqrt{y^2 + 1} \\ & = 2\sqrt{y^2 + 1} + 2 \end{align} $
*). Menentukan hasil limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{y \to 1 } \frac{\text{keliling } \square ABCD}{\text{keliling } \Delta ACD} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 1 } \frac{y + 3 + \sqrt{y^2 + 1}}{2\sqrt{y^2 + 1} + 2 } \\ & = \frac{1 + 3 + \sqrt{1^2 + 1}}{2\sqrt{1^2 + 1} + 2 } \\ & = \frac{4 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2 } \\ & = \frac{4 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2 } \times \frac{2\sqrt{2} - 2 }{2\sqrt{2} - 2 } \\ & = \frac{8\sqrt{2} - 8 + 4 - 2\sqrt{2}}{8 - 4} \\ & = \frac{6\sqrt{2} -4}{4} = \frac{1}{4} (6\sqrt{2} -4) = \frac{1}{2} (3\sqrt{2} -2) \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} (3\sqrt{2} -2) . \, \heartsuit $
*). Ilustrasi gambar detailnya :
Dari gambar tersebut kita peroleh panjang sisi-sisi :
$ OD = y , OA = 1, AB = 1, CD = 2, BC = y $
$ AD = \sqrt{(0-1)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{ 1 + y^2 } $
$ AC = \sqrt{(2-1)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{ 1 + y^2 } $
*). Menentukan keliling masing-masing :
$\begin{align} \text{Keliling ABCD } & = AB + BC + CD + AD \\ & = 1 + y + 2 + \sqrt{y^2 + 1} \\ & = y + 3 + \sqrt{y^2 + 1} \\ \text{Keliling ACD } & = AC + CD + AD \\ & = \sqrt{y^2 + 1} + 2 + \sqrt{y^2 + 1} \\ & = 2\sqrt{y^2 + 1} + 2 \end{align} $
*). Menentukan hasil limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{y \to 1 } \frac{\text{keliling } \square ABCD}{\text{keliling } \Delta ACD} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 1 } \frac{y + 3 + \sqrt{y^2 + 1}}{2\sqrt{y^2 + 1} + 2 } \\ & = \frac{1 + 3 + \sqrt{1^2 + 1}}{2\sqrt{1^2 + 1} + 2 } \\ & = \frac{4 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2 } \\ & = \frac{4 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2 } \times \frac{2\sqrt{2} - 2 }{2\sqrt{2} - 2 } \\ & = \frac{8\sqrt{2} - 8 + 4 - 2\sqrt{2}}{8 - 4} \\ & = \frac{6\sqrt{2} -4}{4} = \frac{1}{4} (6\sqrt{2} -4) = \frac{1}{2} (3\sqrt{2} -2) \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} (3\sqrt{2} -2) . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.