Soal yang Akan Dibahas
Diketahui dua lingkaran $ x^2+y^2 = 2 $ dan $ x^2+y^2=4 $. Garis $ l_1 $ menyinggung
lingkaran pertama di titik $ (1,-1) $. Garis $ l_2 $ menyinggung lingkaran kedua dan
tegak lurus dengan garis $ l_1 $. Titik potong garis $ l_1 $ dan $ l_2 $ adalah .....
A). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} - 1) \, $ B). $ ( 1-\sqrt{2} , \sqrt{2} - 1) \, $
C). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} + 1) \, $ D). $ ( 1-\sqrt{2} , \sqrt{2} - 2) \, $
E). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} + 2) $
A). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} - 1) \, $ B). $ ( 1-\sqrt{2} , \sqrt{2} - 1) \, $
C). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} + 1) \, $ D). $ ( 1-\sqrt{2} , \sqrt{2} - 2) \, $
E). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} + 2) $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis $ y = ax + c $ adalah $ m = a $
*). Dua garis tegak lurus : $ m_1 . m_2 = -1 $
(perkalian gradiennya adalah $ -1$ )
*). Persamaan garis singgung (PGS) lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ di titik $ (x_1,y_1) $ adalah $ x_1.x + y_1.y = r^2 $
*). Persamaan garis singgung (PGS) lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ dengan gradien $ m $ adalah $ y = mx \pm r\sqrt{1+m^2} $
*). Gradien garis $ y = ax + c $ adalah $ m = a $
*). Dua garis tegak lurus : $ m_1 . m_2 = -1 $
(perkalian gradiennya adalah $ -1$ )
*). Persamaan garis singgung (PGS) lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ di titik $ (x_1,y_1) $ adalah $ x_1.x + y_1.y = r^2 $
*). Persamaan garis singgung (PGS) lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ dengan gradien $ m $ adalah $ y = mx \pm r\sqrt{1+m^2} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya
*). PGS lingkaran $ x^2 + y^2 = 2 $ di titik $ (x_1,y_1)=(1,-1) $
$\begin{align} x_1.x + y_1.y & = r^2 \\ 1.x + (-1).y & = 2 \\ x - y & = 2 \\ y & = x - 2 \, \, \, \, \, \, \text{(sebagai } l_1 ) \\ m_1 & = 1 \end{align} $
*). Gradien garis yang tegak lurus dengan $ y = x - 2 $ :
$ m_1.m_2 = -1 \rightarrow 1. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = -1 $
*). PGS lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 $ dengan $ m = -1 $ :
-). Lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $
-). PGS nya :
$\begin{align} y & = mx \pm r\sqrt{1 + m^2} \\ y & = -1.x \pm 2\sqrt{1 + (-1)^2} \\ y & = -x \pm 2\sqrt{1 + 1} \\ y & = -x \pm 2\sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(sebagai } l_2 ) \end{align} $
*). Menentukan titik potong $ l_1 $ dan $ l_2 $ :
-). $ l_1 : y = x-2 $ dan $ l_2 : y = -x + 2 \sqrt{2} $
$\begin{align} y & = y \\ x - 2 & = -x + 2\sqrt{2} \\ 2x & = 2 + 2\sqrt{2} \\ x & = 1 + \sqrt{2} \end{align} $
Nilai $ y = x - 2 = (1 + \sqrt{2} ) - 2 = -1 + \sqrt{2} $
Sehingga titik potong pertama : $ (1+\sqrt{2} , -1 + \sqrt{2} ) $
-). $ l_1 : y = x-2 $ dan $ l_2 : y = -x - 2 \sqrt{2} $
$\begin{align} y & = y \\ x - 2 & = -x - 2\sqrt{2} \\ 2x & = 2 - 2\sqrt{2} \\ x & = 1 - \sqrt{2} \end{align} $
Nilai $ y = x - 2 = (1 - \sqrt{2} ) - 2 = -1 - \sqrt{2} $
Sehingga titik potong kedua : $ (1- \sqrt{2} , -1 - \sqrt{2} ) $
*). Yang ada di pilihan gandanya adalah $ (1+\sqrt{2} , -1 + \sqrt{2} ) $ atau dapat ditulis $ (1 + \sqrt{2} , \sqrt{2} - 1 ) $
Jadi, titik potongnya adalah $ (1 + \sqrt{2} , \sqrt{2} - 1 ) . \, \heartsuit $
*). Ilustrasi gambarnya
*). PGS lingkaran $ x^2 + y^2 = 2 $ di titik $ (x_1,y_1)=(1,-1) $
$\begin{align} x_1.x + y_1.y & = r^2 \\ 1.x + (-1).y & = 2 \\ x - y & = 2 \\ y & = x - 2 \, \, \, \, \, \, \text{(sebagai } l_1 ) \\ m_1 & = 1 \end{align} $
*). Gradien garis yang tegak lurus dengan $ y = x - 2 $ :
$ m_1.m_2 = -1 \rightarrow 1. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = -1 $
*). PGS lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 $ dengan $ m = -1 $ :
-). Lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $
-). PGS nya :
$\begin{align} y & = mx \pm r\sqrt{1 + m^2} \\ y & = -1.x \pm 2\sqrt{1 + (-1)^2} \\ y & = -x \pm 2\sqrt{1 + 1} \\ y & = -x \pm 2\sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(sebagai } l_2 ) \end{align} $
*). Menentukan titik potong $ l_1 $ dan $ l_2 $ :
-). $ l_1 : y = x-2 $ dan $ l_2 : y = -x + 2 \sqrt{2} $
$\begin{align} y & = y \\ x - 2 & = -x + 2\sqrt{2} \\ 2x & = 2 + 2\sqrt{2} \\ x & = 1 + \sqrt{2} \end{align} $
Nilai $ y = x - 2 = (1 + \sqrt{2} ) - 2 = -1 + \sqrt{2} $
Sehingga titik potong pertama : $ (1+\sqrt{2} , -1 + \sqrt{2} ) $
-). $ l_1 : y = x-2 $ dan $ l_2 : y = -x - 2 \sqrt{2} $
$\begin{align} y & = y \\ x - 2 & = -x - 2\sqrt{2} \\ 2x & = 2 - 2\sqrt{2} \\ x & = 1 - \sqrt{2} \end{align} $
Nilai $ y = x - 2 = (1 - \sqrt{2} ) - 2 = -1 - \sqrt{2} $
Sehingga titik potong kedua : $ (1- \sqrt{2} , -1 - \sqrt{2} ) $
*). Yang ada di pilihan gandanya adalah $ (1+\sqrt{2} , -1 + \sqrt{2} ) $ atau dapat ditulis $ (1 + \sqrt{2} , \sqrt{2} - 1 ) $
Jadi, titik potongnya adalah $ (1 + \sqrt{2} , \sqrt{2} - 1 ) . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.