Pembahasan Barisan Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - b^2x + c = 0 $ adalah $ q $ dan $ 3q $. Jika $ 1, b, c - 4 $ membentuk tiga suku berurutan dari barisan geometri, maka $ \frac{-b^2 + c}{q} = ... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat (PK) $ \, ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan geometri memiliki perbandingan sama.
Misalkan barisan geometri : $ u_1 , u_2 , u_ 3 $ ,
maka $ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ x^2 - b^2x + c = 0 $ adalah $ x_1 = q $ dan $ x_2 = 3q $
-). Operasi akar-akar untuk menyusun persamaannya :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ q + 3q & = \frac{-(-b^2)}{1} \\ 4q & = b^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ q . 3q & = \frac{c}{1} \\ 3q^2 & = c \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). $ 1, b, c - 4 $ adalah barisan geometri. Perbandingan sama :
$\begin{align} \frac{b}{1} & = \frac{c-4}{b} \\ c - 4 & = b^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) dan pers(ii) ke pers(iii)
$\begin{align} c - 4 & = b^2 \\ 3q^2 - 4 & = 4q \\ 3q^2 -4q - 4 & = 0 \\ (3q + 2)(q - 2) & = 0 \\ q = -\frac{2}{3} \vee q & = 2 \end{align} $
-). Dari pers(i) : $ b^2 = 4q $ , maka $ q = 2 $ yang memenuhi karena $ b^2 $ selalu positif.
*). Menentukan nilai $ b $ , $ c $ dan $ \frac{-b^2 + c}{q} $ :
$\begin{align} b^2 & = 4q = 4. 2 = 8 \\ c & = 3q^2 = 3.2^2 = 12 \\ \frac{-b^2 + c}{q} & = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{-b^2 + c}{q} = 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar