Pembahasan Logaritma Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^2 \log ab = -1 $ dan $ \frac{{}^2 \log a}{{}^b \log 2} = -6 $ , maka persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $ \frac{8}{3}(a+b) - 9 $ dan $ \frac{a+b}{3a^3b^3} $ adalah ...
A). $ x^2 + 13x - 22 = 0 \, $
B). $ x^2 - 13x + 22 = 0 \, $
C). $ x^2 - 13x - 22 = 0 \, $
D). $ x^2 + 11x - 22 = 0 \, $
E). $ x^2 - 11x + 22 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ \frac{1}{{}^a \log b } = {}^b \log a $
*). Persamaan kuadrat dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
dengan $ HJ = x_1 + x_2 $ dan $ HK = x_1. x_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama
$\begin{align} {}^2 \log ab & = -1 \rightarrow {}^2 \log a + {}^2 \log b = -1 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan Kedua
$\begin{align} \frac{{}^2 \log a}{{}^b \log 2} & = -6 \rightarrow {}^2 \log a . {}^2 \log b = -6 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Dari kedua persamaan yaitu $ {}^2 \log a + {}^2 \log b = -1 $ dan $ {}^2 \log a . {}^2 \log b = -6 $ maka kita peroleh $ {}^2 \log a = -3 $ dan $ {}^2 \log b = 2 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$\begin{align} {}^2 \log a & = -3 \rightarrow a = 2^3 = \frac{1}{8} \\ {}^2 \log b & = 2 \rightarrow b = 2^2 = 4 \end{align} $
*). Menentukan akar-akar persamaan kuadratnya :
$\begin{align} \frac{8}{3}(a+b) - 9 & = \frac{8}{3}\left( \frac{1}{8} + 4 \right) - 9 = \frac{8}{3}\left( \frac{33}{8} \right) - 9 = 11 - 9 = 2 \\ \frac{a+b}{3a^3b^3} & = \frac{\frac{1}{8} + 4}{3(\frac{1}{8}. 4)^3} = \frac{\frac{33}{8} }{\frac{3}{8}} = 11 \end{align} $
Sehingga akar-akar persamaan kuadratnya adalah 2 dan 11
$ HJ = 2 + 11 = 13 $ dan $ HK = 2. 11 = 22 $
*). Menyusun persamaan kuadratnya :
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + HK & = 0 \\ x^2 - 13x + 22 & = 0 \end{align} $
Jadi, PK nya adalah $ x^2 - 13x + 22 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar