Pembahasan Barisan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan tiga persegi. Panjang sisi persegi I, II, dan III membentuk barisan geometri. Keliling persegi I, II, dan III membentuk barisan aritmetika. Diketahui juga jumlah keliling ketiga persegi 14 meter. Panjang sisi persegi yang terkecil adalah ... meter.
A). $ \frac{7}{6} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Barisan geometri : $ a, ar, ar^2, ar^3, .... $
*). Barisan aritmetika : $ u_1, u_2, u_3, .... $
-). Memiliki selisih yang sama yaitu :
$ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = u_4 - u_3 = .... $
*). Misalkan panjang sisi persegi $ = s $
keliling persegi $ = 4s $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan sisi-sisi perseginya :
persegi pertama : $ s = a $ , persegi kedua : $ s = ar $ dan ketiga : $ ar^2 $ dimana ketiganya membentuk barisan geometri yaitu $ a, ar, ar^2 $.
*). Menentukan keliling masing-masing persegi :
Persegi pertama : $ K = 4a $
Persegi kedua : $ K = 4ar $
Persegi ketiga : $ K = 4ar^2 $
*). Keliling ketiga persegi membentuk barisan aritmetika :
$ 4a, 4ar, 4ar^2 $.
-). Selisih dua suku berdekatan sama :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ 4ar - 4a & = 4ar^2 - 4ar \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } 4a ) \\ r - 1 & = r^2 - r \\ r^2 - 2r + 1 & = 0 \\ (r - 1)^2 & = 0 \\ r & = 1 \end{align} $
*). Jumlah keliling ketiganya = 14
$\begin{align} 4a + 4ar + 4ar^2 & = 14 \\ 4a + 4a.1 + 4a.1^2 & = 14 \\ 4a + 4a + 4a & = 14 \\ 12a & = 14 \\ a & = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} \end{align} $
Jadi, panjang sisi terpendeknya adalah $ \frac{7}{6} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar