Pembahasan Matriks UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $. Jika $ A^{-1} $ adalah invers matriks A dan $ A^T $ adalah transpose matriks A, maka determinan matriks B yang memenuhi $ AB = A^{-1} + A^T $ adalah ...
A). $ -41 \, $ B). $ -9 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 31 \, $ E). $ 41 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan terdapat matriks : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Determinan A : $ |A| = ad - bc $
-). Transpose matriks A : $ A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
-). Invers Matriks A : $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat-sifat pada matriks :
1). $ A(B+C) = AB + AC $
2). $ A^{-1} . A = I $
3). $ I.A = A $
dengan $ I = \, $ matriks identitas.
*). Operasi pada matriks :
-). Operasi penjumlahan : Jumlahkan unsur-unsur yang seletak.
-). Perkalian matriks : Baris kalikan Kolom.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks : $ A = \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $
-). Determinan : $ |A| = 5.1 - (-3).(-2) = 5 - 6 = -1 $
-). Transpose : $ A^T = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) $
-). Invers : $ A^{-1} = \frac{1}{-1} \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan matriks B :
$\begin{align} AB & = A^{-1} + A^T \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } A^{-1} ) \\ A^{-1}.AB & = A^{-1}(A^{-1} + A^T ) \\ (A^{-1}.A)B & = A^{-1}.A^{-1} + A^{-1}.A^T \\ I.B & = \left( \begin{matrix} -1 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} -1 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} 7 & 18 \\ 12 & 31 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 & -1 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} 11 & 17 \\ 17 & 30 \end{matrix} \right) \\ |B| & = 11.30 - 17.17 = 330 - 289 = 41 \end{align} $
Jadi, determinan matriks B adalah $ 41 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar