Soal yang Akan Dibahas
Diberikan deret geometri tak hingga $ p = 2x -1 + (2x-1)^2 + (2x-1)^3 + ... $ Nilai $ x $
yang memenuhi $ p < 2 $ adalah ...
A). $ 0 < x < \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{5}{6} < x < 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} < x < 1 \, $
D). $ 1 < x < \frac{6}{5} \, $ E). $ x > 1 \, $ atau $ x < \frac{5}{6} $
A). $ 0 < x < \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{5}{6} < x < 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} < x < 1 \, $
D). $ 1 < x < \frac{6}{5} \, $ E). $ x > 1 \, $ atau $ x < \frac{5}{6} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus deret geometri tak hingga :
$ s_\infty = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + .... $
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = ... $
*). Syarat deret geometri tak hingga konvergen :
$ -1 < r < 1 $
*). Suatu deret geometri tak hingga dapat dihitung dengan rumus $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $ jika deret geometri tak hingga tersebut konvergen. Sehingga kita juga harus mencari syarat kekonvergenannya.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Untuk pertidaksamaan pecahan, tidak dikalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.
*). Rumus deret geometri tak hingga :
$ s_\infty = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + .... $
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = ... $
*). Syarat deret geometri tak hingga konvergen :
$ -1 < r < 1 $
*). Suatu deret geometri tak hingga dapat dihitung dengan rumus $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $ jika deret geometri tak hingga tersebut konvergen. Sehingga kita juga harus mencari syarat kekonvergenannya.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Untuk pertidaksamaan pecahan, tidak dikalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui deret : $ p = 2x -1 + (2x-1)^2 + (2x-1)^3 + ... $
$ a = 2x - 1 $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{(2x-1)^2}{(2x-1)} = (2x-1) $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} p & = 2x -1 + (2x-1)^2 + (2x-1)^3 + ... \\ p & = \frac{a}{1-r} \\ p & = \frac{(2x-1)}{1-(2x-1)} \\ p & = \frac{(2x-1)}{2 - 2x} \end{align} $
*). Menyelesaikan syarat konvergen :
$\begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < & 2x - 1 < 1 \, \, \, \, \, \, \text{(tambah 1)} \\ -1 + 1 < & 2x - 1 + 1 < 1 + 1 \\ 0 < & 2x < 2 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 0 < & x < 1 \end{align} $
Kita peroleh $ HP_1 = \{ 0 < x < 1 \} $
*). Menyelesaikan bentuk $ p < 2 $ :
$\begin{align} p & < 2 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} & < 2 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} - 2 & < 0 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} - \frac{2(2-2x)}{2 - 2x} & < 0 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} - \frac{4 - 4x}{2 - 2x} & < 0 \\ \frac{2x - 1 -4 + 4x}{2 - 2x} & < 0 \\ \frac{6x - 5}{2 - 2x} & < 0 \\ \end{align} $
Akar pembilangnya : $ 6x - 5 = 0 \rightarrow x = \frac{5}{6} $
Akar penyebutnya : $ 2 - 2x = 0 \rightarrow x = 1 $
Garis bilangannya :
sehingga $ HP_2 = \{ x < \frac{5}{6} \vee x > 1 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ 0 < x < 1 \} \cap \{ x < \frac{5}{6} \vee x > 1 \} \\ & = \{ 0 < x < \frac{5}{6} \} \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ adalah $ \{ 0 < x < \frac{5}{6} \} . \, \heartsuit $
*). Diketahui deret : $ p = 2x -1 + (2x-1)^2 + (2x-1)^3 + ... $
$ a = 2x - 1 $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{(2x-1)^2}{(2x-1)} = (2x-1) $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} p & = 2x -1 + (2x-1)^2 + (2x-1)^3 + ... \\ p & = \frac{a}{1-r} \\ p & = \frac{(2x-1)}{1-(2x-1)} \\ p & = \frac{(2x-1)}{2 - 2x} \end{align} $
*). Menyelesaikan syarat konvergen :
$\begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < & 2x - 1 < 1 \, \, \, \, \, \, \text{(tambah 1)} \\ -1 + 1 < & 2x - 1 + 1 < 1 + 1 \\ 0 < & 2x < 2 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 0 < & x < 1 \end{align} $
Kita peroleh $ HP_1 = \{ 0 < x < 1 \} $
*). Menyelesaikan bentuk $ p < 2 $ :
$\begin{align} p & < 2 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} & < 2 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} - 2 & < 0 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} - \frac{2(2-2x)}{2 - 2x} & < 0 \\ \frac{(2x-1)}{2 - 2x} - \frac{4 - 4x}{2 - 2x} & < 0 \\ \frac{2x - 1 -4 + 4x}{2 - 2x} & < 0 \\ \frac{6x - 5}{2 - 2x} & < 0 \\ \end{align} $
Akar pembilangnya : $ 6x - 5 = 0 \rightarrow x = \frac{5}{6} $
Akar penyebutnya : $ 2 - 2x = 0 \rightarrow x = 1 $
Garis bilangannya :
sehingga $ HP_2 = \{ x < \frac{5}{6} \vee x > 1 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ 0 < x < 1 \} \cap \{ x < \frac{5}{6} \vee x > 1 \} \\ & = \{ 0 < x < \frac{5}{6} \} \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ adalah $ \{ 0 < x < \frac{5}{6} \} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.