dunia informa: matdas um ugm 2018 kode 286

Tampilkan postingan dengan label matdas um ugm 2018 kode 286. Tampilkan semua postingan

Cara 2 Pembahasan Statistika UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Dua perusahaan masing-masing memiliki 6 karyawan dengan rata-rata usia karyawannya adalah 35 tahun dan 38 tahun. Jika satu orang di masing-masing perusahaan dipertukarkan, maka rata-rata kedua kelompok tersebut menjadi sama. Selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah ...
A). $ 3 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 18 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan terdapat dua kelompok dengan jumlah $ n $ orang di masing-masing kelompok.
rata-rata kelompok I = $ p $
rata-rata kelompok II = $ q $
Satu orang dari masing-masing kelompok ditukarkan
Maka selisih nilai kedua orang itu $ = \frac{1}{2}n|p-q| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari soal deiketahui : $ n = 6 $
rata-rata perusahaan I $ \rightarrow p = 35 $
rata-rata perusahaan II $ \rightarrow q = 38 $
*). Selisih dua orang yang ditukarkan :
$\begin{align} \text{Selisih } & = \frac{1}{2}n|p-q| \\ & = \frac{1}{2}.6.|35-38| \\ & = 3 . 3 = 9 \\ \end{align} $
Sehingga selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah 9 .
Jadi, selisihnya adalah $ 9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Gradien PGS UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Gradien kurva $ f(x) = x^3 - 4x^2 + ax - 5 $ di titik $ (-1,f(-1)) $ sama dengan $ 5a-1$. Gradien kurva di titik $ (2, f(2)) $ adalah ...
A). $ 3 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Gradien persamaan garis singgung (PGS) kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) = x^3 - 4x^2 + ax - 5 \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 - 8x + a $ :
*). Gradien kurva $ f(x) = x^3 - 4x^2 + ax - 5 $ di titik $ (-1,f(-1)) $ sama dengan $ 5a-1$. artinya $ m = 5a - 1 $ saat $ x_1 = -1 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} m & = f^\prime (x_1) \\ 5a - 1 & = f^\prime (-1) \\ 5a - 1 & = 3.(-1)^2 - 8.(-1) + a \\ 5a - 1 & = 3 + 8 + a \\ 4a & = 12 \\ a & = 3 \end{align} $
Sehingga : $ f^\prime (x) = 3x^2 - 8x + 3 $
*). Menentukan gradien kurva di titik $ (2, f(2)) $ artinya $ x_1 = 2 $ :
$\begin{align} m & = f^\prime (2) \\ & = 3.2^2 - 8.2 + 3 \\ & = 12 - 16 + 3 \\ & = -1 \end{align} $
Jadi, gradiennya adalah $ -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^n - 2^n}{x^\frac{n}{3} - 2^\frac{n}{3}} = 3\sqrt[3]{16} $ , maka $ n = ...$
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki penyelesaian $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Bentuk akar : $ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
*). Persamaan eksponen : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil limitnya dengan substitusi :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^n - 2^n}{x^\frac{n}{3} - 2^\frac{n}{3}} & = \frac{2^n - 2^n}{2^\frac{n}{3} - 2^\frac{n}{3}} = \frac{0}{0} \end{align} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0}$, maka bisa menggunakan turunan
*). Menentukan nilai $ n $ :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^n - 2^n}{x^\frac{n}{3} - 2^\frac{n}{3}} & = 3\sqrt[3]{16} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{nx^{n-1} - 0}{\frac{n}{3}x^{\frac{n}{3} - 1} - 0} & = 3\sqrt[3]{2^4} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{nx^{n-1} }{\frac{n}{3}x^{\frac{n}{3} - 1} } & = 3. 2^\frac{4}{3} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} 3x^{(n-1) -(\frac{n}{3} - 1)} & = 3. 2^\frac{4}{3} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} 3x^\frac{2n}{3} & = 3. 2^\frac{4}{3} \\ 3 . 2^\frac{2n}{3} & = 3. 2^\frac{4}{3} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 2^\frac{2n}{3} & = 2^\frac{4}{3} \\ \frac{2n}{3} & = \frac{4}{3} \\ n & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ n = 2 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi Invers UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ f^{-1} $ adalah invers fungsi $ f $ dengan $ f^{-1}(1-x)=\frac{2x-1}{1-x} $ , maka $ \frac{f(x-2)-f^{-1}(x)}{2} = ...$
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{x}+2 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ \frac{1}{x} - 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat fungsi invers :
$ [f^{-1} (x) ]^{-1} = f(x) $
(bentuk invers di inverskan lagi maka kembali ke fungsi awal atau inversnya hilang).
*). Cara menentukan invers fungsi yaitu dengan permisalan.
*). Menentukan invers pecahan :
$ g(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{-dx + b}{cx - a } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah $ f^{-1}(1-x)=\frac{2x-1}{1-x} $ menjadi $ f^{-1} (x) $ :
Misalkan : $ 1 - x = p \rightarrow x = 1 - p $
$\begin{align} f^{-1}(1-x) & = \frac{2x-1}{1-x} \\ f^{-1}(p) & = \frac{2(1-P)-1}{1-(1-p)} \\ f^{-1}(p) & = \frac{2 - 2p - 1}{1- 1 + p} \\ f^{-1}(p) & = \frac{1 - 2p}{p} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1 - 2x}{x} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - \frac{ 2x}{x} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - 2 \end{align} $
*). Menentukan $ f(x) $ dari $ f^{-1}(x) = \frac{1 - 2x}{x} = \frac{-2x + 1}{x + 0 } $ yaitu dengan menginverskannya :
$\begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{-2x + 1}{x + 0 } \\ [f^{-1}(x)]^{-1} & = \frac{0x + 1}{x - (-2)} \\ f(x) & = \frac{1}{x+2} \\ \end{align} $
Sehingga : $ f(x-2) = \frac{1}{(x-2)+2} = \frac{1}{x } $
*). Menentukan hasil akhirnya :
$\begin{align} \frac{f(x-2) - f^{-1}(x)}{2} & = \frac{ \frac{1}{x } - (\frac{1}{x} - 2) }{2} \\ & = \frac{ \frac{1}{x } - \frac{1}{x} + 2 }{2} \\ & = \frac{ 2 }{2} = 1 \end{align} $
Jadi, bentuk $ \frac{f(x-2) - f^{-1}(x)}{2} = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Invers UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat fungsi invers :
$ [f^{-1} (x) ]^{-1} = f(x) $
(bentuk invers di inverskan lagi maka kembali ke fungsi awal atau inversnya hilang).
*). Cara menentukan invers fungsi yaitu dengan permisalan.
*). Definisi invers fungsi :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah $ f^{-1}(1-x)=\frac{2x-1}{1-x} $ menjadi $ f^{-1} (x) $ :
Misalkan : $ 1 - x = p \rightarrow x = 1 - p $
$\begin{align} f^{-1}(1-x) & = \frac{2x-1}{1-x} \\ f^{-1}(p) & = \frac{2(1-P)-1}{1-(1-p)} \\ f^{-1}(p) & = \frac{2 - 2p - 1}{1- 1 + p} \\ f^{-1}(p) & = \frac{1 - 2p}{p} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1 - 2x}{x} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - \frac{ 2x}{x} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - 2 \end{align} $
*). Menentukan $ f(x) $ dari $ f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 2 $ yaitu dengan menginverskan bentuk $ f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 2 $ :
$\begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - 2 \\ y & = \frac{1}{x} - 2 \\ \frac{1}{x} & = y + 2 \\ x & = \frac{1}{y+2} \\ [f^{-1}(x)]^{-1} & = \frac{1}{x+2} \\ f(x) & = \frac{1}{x+2} \\ \end{align} $
Sehingga : $ f(x-2) = \frac{1}{(x-2)+2} = \frac{1}{x } $
*). Menentukan hasil akhirnya :
$\begin{align} \frac{f(x-2) - f^{-1}(x)}{2} & = \frac{ \frac{1}{x } - (\frac{1}{x} - 2) }{2} \\ & = \frac{ \frac{1}{x } - \frac{1}{x} + 2 }{2} \\ & = \frac{ 2 }{2} = 1 \end{align} $
Jadi, bentuk $ \frac{f(x-2) - f^{-1}(x)}{2} = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus rata-rata pada statistika :
rata-rata $ = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan perusahaannya adalah A dan B .
-). Perusahaan A :
$A_5 = \, $ jumlah total usia 5 orang yang tidak ditukar.
$ x_a = \, $ satu orang yang usianya ditukarkan.
rata - rata = 35
$ \frac{A_5 + x_a}{6} = 35 \rightarrow A_5 + x_a = 210 \, $ ....(i)
-). Perusahaan B :
$B_5 = \, $ jumlah total usia 5 orang yang tidak ditukar.
$ x_b = \, $ satu orang yang usianya ditukarkan.
rata - rata = 38
$ \frac{B_5 + x_b}{6} = 38 \rightarrow B_5 + x_b = 228 \, $ ....(ii)
*). Kurangkan pers(ii) dan (i) :
$\begin{array}{cc} B_5 + x_b = 228 & \\ A_5 + x_a = 210 & - \\ \hline \end{array} $
$ (B_5 - A_5) + (x_b - x_a) = 18 \, $ ....(iii)
*). Kedua orang ditukarkan ($x_a $ dan $ x_b $ ).
-). Perusahaan A menjadi : $ A_5 $ dan $ x_b $
-). Perusahaan B menjadi : $ B_5 $ dan $ x_a $
-). Rata-rata usia kedua perusahaan sama :
$ \frac{A_5 + x_b}{6} = \frac{B_5 + x_a}{6} \rightarrow A_5 + x_b = B_5 + x_a $
$ \rightarrow B_5 - A_5 = x_b - x_a \, $ ....(iv)
*). Substitusi pers(iv) ke pers(iii) :
$\begin{align} (B_5 - A_5) + (x_b - x_a) & = 18 \\ (x_b - x_a) + (x_b - x_a) & = 18 \\ 2(x_b - x_a) & = 18 \\ x_b - x_a & = 9 \end{align} $
Sehingga selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah 9 .
Jadi, selisihnya adalah $ 9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ a > 0 $ dan selisih akar-akar persamaan kuadrat $ 5x^2 - 10ax + 8a = 0 $ sama dengan 3, maka $ a^2 - a = ...$
A). $ 1\frac{1}{9} \, $ B). $ 3\frac{3}{4} \, $ C). $ 4\frac{4}{9} \, $ D). $ 7\frac{1}{2} \, $ E). $ 8\frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Selisih akar-akarnya :
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat $ 5x^2 - 10ax + 8a = 0 $ dengan $ a > 0 $
$ a = 5, b = -10a , $ dan $ c = 8a $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \text{Selisih akar } & = 3 \\ \frac{\sqrt{D}}{a} & = 3 \\ \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} & = 3 \\ \frac{\sqrt{(-10a)^2 - 4.5.8a}}{5} & = 3 \\ \sqrt{100a^2 - 160a} & = 15 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{100a^2 - 160a} )^2 & = (15 )^2 \\ 100a^2 - 160a & = 225 \\ 100a^2 - 160a - 225 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 20a^2 - 32a - 45 & = 0 \\ (10a+9)(2a - 5) & = 0 \\ a = -\frac{9}{10} \vee a & = \frac{5}{2} \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , maka $ a = \frac{5}{2} $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ a^2 - a $ :
$\begin{align} a^2 - a & = (\frac{5}{2})^2 - \frac{5}{2} = \frac{25}{4} - \frac{5}{2} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 - a = 3\frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Hubungan Parabola Log UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui $ b, c, d $ bilangan-bilangan bulat positif. Jika parabola $ y = x^2 + bx + c $ dan garis $ y = dx $ mempunyai tepat satu titik berserikat, maka pernyataan berikut yang benar adalah ...
A). $ b = 0 \, $ B). $ d - b \, $ genap C). $ c = 0 \, $
D). $ |d| \geq |a|^2 + |b|^2 \, $ E). $ d > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Parabola dan garis berpotongan di satu titik (disebut bersinggungan atau berserikat di satu titik) memiliki syarat $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Beberapa sifat-sifat bilangan :
-). Suatu bilangan kepipatan 2 atau kelipatan 4 pasti merupakan bilangan genap
-). jika $ a^2 $ genap, maka $ a $ juga genap.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). parabola $ y_1 = x^2 + bx + c $ dan garis $ y_2 = dx $
*). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + bx + c & = dx \\ x^2 + bx - dx + c & = 0 \\ x^2 + ( b - d)x + c & = 0 \\ \text{Syarat : } D & = 0 \\ (b-d)^2 - 4 . 1. c & = 0 \\ (b-d)^2 - 4c & = 0 \\ (b-d)^2 & = 4c \\ (d - b)^2 & = 4c \end{align} $
-). Karena $ 4c $ bilangan genap, maka $ (d - b)^2 $ juga genap (karena nilainya sama yaitu $ (d - b)^2 = 4c $ ).
-). Karena $ (d - b)^2 $ genap, maka $ d - b $ juga genap.
Jadi, yang benar adalah $ d - b $ genap $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Log UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ 2 \left( {}^x \log \frac{1}{3^x+2}\right)\left( {}^3 \log \frac{1}{x} \right)=2+x$ , maka $ (27)^x = ...$
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 27 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 125 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi Logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
Syarat : $ a > 0 , a \neq 1 , b > 0 $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
*). Sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
$ a^{m+n} = a^m . a^n $
$ (a^m)^n = (a^n)^m $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 3^x = p $ . Karena $ x $ memenuhi bentuk logaritma $ \left( {}^x \log \frac{1}{3^x+2}\right) $, maka nilai $ x $ haruslah positif $ (x > 0 ) $ dan $ x \neq 1 $ sehingga nilai $ 3^x > 1 $ dan $ 3^x \neq 3 $. Artinya nilai $ p $ juga $ p > 1 $ dan $ p \neq 3 $.
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} 2 \left( {}^x \log \frac{1}{3^x+2}\right)\left( {}^3 \log \frac{1}{x} \right) & = 2+x \\ 2 \left( {}^x \log (3^x+2)^{-1} \right)\left( {}^3 \log x^{-1} \right) & = 2+x \\ 2 \left( -1. {}^x \log (3^x+2) \right)\left( -1. {}^3 \log x \right) & = 2+x \\ 2 \left( {}^x \log (3^x+2) \right)\left( {}^3 \log x \right) & = 2+x \\ 2 \, {}^3 \log x . {}^x \log (3^x+2) & = 2+x \\ 2 \, {}^3 \log (3^x+2) & = 2+x \\ {}^3 \log (3^x+2)^2 & = 2+x \\ (3^x+2)^2 & = 3^{2+x } \\ (3^x+2)^2 & = 3^2.3^x \\ (3^x+2)^2 & = 9. 3^x \\ (p+2)^2 & = 9p \\ p^2 + 4p + 4 & = 9p \\ p^2 - 5p + 4 & = 0 \\ (p-1)(p-4) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 4 \end{align} $
yang memenuhi adalah $ p = 4 \rightarrow 3^x = 4 $
*). Menentukan nilai $ 27^x $ :
$\begin{align} 27^x & = (3^3)^x = 3^{3x} = (3^x)^3 = 4^3 = 64 \end{align} $
Jadi, nilai $ 27^x = 64 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Persamaan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ p = \sqrt[3]{x^2} $ dan $ x $ memenuhi $ \sqrt[2]{\sqrt[3]{x} + 3} = 1 + \sqrt[3]{x} $ , maka hasil kali semua nilai $ p $ yang memenuhi adalah ...
A). $ 0 $ B). $ 1 $ C). $ 2 $ D). $ 4 $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat bentuk akar : $ (\sqrt{A})^2 = A $
*). Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi perkalian akar-akarnya : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a = \sqrt[3]{x} $ sehingga :
$ p = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 = a^2 $
*). Menentukan nilai $ p_1 \times p_2 $ :
$\begin{align} \sqrt[2]{\sqrt[3]{x} + 3} & = 1 + \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[2]{a + 3} & = 1 + a \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( \sqrt[2]{a + 3} )^2 & = (1 + a )^2 \\ a + 3 & = a^2 + 2a + 1 \\ 2 - a^2 & = a \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (2 - a^2)^2 & = a^2 \\ (a^2)^2 - 4a^2 + 4 & = a^2 \\ (a^2)^2 - 5a^2 + 4 & = 0 \\ p^2 - 5p + 4 & = 0 \\ p_1 \times p_2 & = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4 \end{align} $
Jadi, perkalian nilai $ p $ adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menentukan akar-akar persamaan dapat dengan pemfaktoran.
*). Sifat bentuk akar : $ (\sqrt{A})^2 = A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a = \sqrt[3]{x} $ sehingga :
$ p = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 = a^2 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \sqrt[2]{\sqrt[3]{x} + 3} & = 1 + \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[2]{a + 3} & = 1 + a \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( \sqrt[2]{a + 3} )^2 & = (1 + a )^2 \\ a + 3 & = a^2 + 2a + 1 \\ a^2 + a - 2 & = 0 \\ (a-1)(a+2) & = 0 \\ a = 1 \vee a & = -2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan $ p = a^2 $ :
$\begin{align} a = 1 \rightarrow p & = 1^2 = 1 \\ a = -2 \rightarrow p & = (-2)^2 = 4 \end{align} $
Sehingga perkalian nilai $ p $ yaitu :
$ p_1 \times p_2 = 1 \times 4 = 4 $
Jadi, perkalian nilai $ p $ adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan $ S_n = 3 + 5 + ... + (2n+1) $ dan $ S = 3 + 2(0,6) + 2(0,6)^2 + ... $ Salah satu nilai $ n $ yang memenuhi persamaan $ S = \frac{S_n}{2(n-2)} $ adalah ...
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Deret Aritmetika :
$ S_n = \frac{n}{2}(a + u_n) $
*). Deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1-r} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ u_n = \, $ suku terakhir
$ r = \, $ rasion $ = \frac{u_2}{u_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Deret : $ S_n = 3 + 5 + ... + (2n+1) $ memiliki $ a = 3 $ dan $ u_n = (2n+1) $
*). Menentukan jumlahnya :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(a + u_n) \\ & = \frac{n}{2}(3 + (2n+1)) \\ & = \frac{n}{2}(2n + 4) \\ & = n^2 + 2n \end{align} $
*). Deret tak hingga : $ S = 3 + 2(0,6) + 2(0,6)^2 + ... $
$ a = 2(0,6) = 1,2 $
$ r = \frac{2(0,6)^2}{2(0,6)} = 0,6 $
*). Menentukan jumlahnya :
$\begin{align} S & = 3 + 2(0,6) + 2(0,6)^2 + ... \\ S & = 3 + S_\infty \\ & = 3 + \frac{a}{1-r} \\ & = 3 + \frac{1,2}{1-0,6} \\ & = 3 + \frac{1,2}{0,4} \\ & = 3 + 3 \\ S & = 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ n $ :
$\begin{align} S & = \frac{S_n}{2(n-2)} \\ 6 & = \frac{n^2 + 2n}{2(n-2)} \\ 12n - 24 & = n^2 + 2n \\ n^2 - 10n + 24 & = 0 \\ (n-4)(n-6) & = 0 \\ n = 4 \vee n & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ n = 4 \vee n = 6 $ (Option D) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linier UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Nilai maksimum fungsi objektif $ f(x,y) = 2x + 5y $ dengan kendala-kendala $ 2x - 3y \leq 12 $ , $ x + 2y \leq 20 $ , $ 0 \leq y \leq 6 $ , $ x \geq 2 $ adalah ...
A). $ 26 \, $ B). $ 34 \, $ C). $ 44 \, $ D). $ 46 \, $ E). $ 54 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum :
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terkecil sebagai nilai minimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ 2x - 3y \leq 12 \rightarrow (0,-4) , \, (6,0) $
Garis II : $ x + 2y \leq 20 \rightarrow (0,10), \, (20,0) $
Garis III : $ 0 \leq y \leq 6 \rightarrow \, $ dari $ y = 0 $ sampai $ y = 6 $
Garis IV : $ x \geq 2 \rightarrow \, $ garis $ x = 2 $

*). Menentukan titik pojok A, B, C , D dan E :
-). Titik $ A(2,0) $ , $ B (6,0) $
-). Titik C, eliminasi pers(I) dan pers(II) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 2x - 3y = 12 & \times 1 & 2x - 3y = 12 & \\ x + 2y = 20 & \times 2 & 2x + 4y = 40 & - \\ \hline & & -7y = -28 & \\ & & y = 4 & \end{array} $
Pers(II): $ x + 2y = 20 \rightarrow x + 2.4 = 20 \rightarrow x = 12 $
Sehingga titik $ C (12, 4 ) $.
-). Titik D, substitusi $ y = 6 $ ke pers II :
$ x + 2y = 20 \rightarrow x + 2.6 = 20 \rightarrow x = 8 $
Sehingga titik $ D ( 8 , 6 ) $.
-). Titik $ E(2,6) $
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ f(x,y) = 2x + 5y $ :
$ \begin{align} A(2,0) \rightarrow f & = 2.2 + 5.0 = 4 \\ B(6,0) \rightarrow f & = 2.6 + 5.0 = 12 \\ C(12,4) \rightarrow f & = 2.12 + 5.4 = 24 + 20 = 44 \\ D(8,6) \rightarrow f & = 2.8 + 5.6 = 16 + 30 = 46 \\ E(2,6) \rightarrow f & = 2.2 + 5.6 = 4 + 30 = 34 \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 46 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Himpunan semua bilangan real $ x > 1 $ yang memenuhi $ \frac{x^2-3x+4}{-x+3}>x $ adalah $ \{x | x \in R , a < x < b \} $ . Nilai $ a + b = ... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Untuk pertidaksamaan pecahan, tidak dikalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui $ x > 1 $ , ini adalah nilai $ x $ sebagai domain yang harus terpenuhi sehingga kita anggap sebagai $ HP_1 = \{ x > 1 \} $
*). Menyelesaikan Pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{x^2-3x+4}{-x+3} & > x \\ \frac{x^2-3x+4}{-x+3} - x & > 0 \\ \frac{x^2-3x+4}{-x+3} - \frac{x(-x+3)}{-x+3} & > 0 \\ \frac{x^2-3x+4}{-x+3} - \frac{-x^2 + 3x}{-x+3} & > 0 \\ \frac{(x^2-3x+4)-(-x^2 + 3x)}{-x+3} & > 0 \\ \frac{2x^2-6x+4}{-x+3} & > 0 \\ \frac{2(x^2-3x+2)}{-x+3} & > 0 \\ \frac{2(x-1)(x-2)}{-x+3} & > 0 \end{align} $
Akar pembilangnya : $ 2(x-1)(x-2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = 2 $
Akar penyebutnya : $ -x+3 = 0 \rightarrow x = 3 $
Garis bilangannya :

sehingga $ HP_2 = \{ x < 1 \vee 2 < x < 3 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x > 1 \} \cap \{ x < 1 \vee 2 < x < 3 \} \\ & = \{ 2 < x < 3 \} \end{align} $
*). Solusi $ \{ 2 < x < 3 \} $ sama dengan $ \{ a < x < b \} $ , sehingga $ a = 2 $ dan $ b = 3 $.
Nilai $ a + b = 2 + 3 = 5 $
Jadi, nilai $ a + b = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Linier Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ x $ dan $ y $ bilangan real yang memenuhi $ x - y = 1 $ dan $ (x^2 - y^2)(x^2-2xy+y^2) = 3 $ , maka nilai $ xy = ...$
A). $ 1 - \sqrt{2} \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 + \sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan bisa dengan teknik substitusi dan eliminasi
*). Bentuk pemfaktoran :
$ a^2 - b^2 = (a + b)(a-b) $
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pers(i) : $ x - y = 1 \rightarrow x = y + 1 $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} (x^2 - y^2)(x^2-2xy+y^2) & = 3 \\ (x+y)(x-y)(x-y)^2 & = 3 \\ (x+y)(1)(1)^2 & = 3 \\ x + y & = 3 \\ (y+1) + y & = 3 \\ 2y & = 2 \\ y & = 1 \end{align} $
Pers(i) : $ x = y + 1 = 1 + 1 = 2 $
Sehingga nilai $ xy = 2.1 = 2 $
Jadi, nilai $ xy = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Garis singgung kurva $ f(x) = ax^2 + bx + c $ di titik $ (-1,a) $ melalui titik $ (0,3) $. Jika jumlah kuadrat akar-akarnya sama dengan $ 3 $ dan $ a < 0 $, maka $ b = ...$
A). $ -\frac{3}{2} \, $ B). $ -\frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Jika suatu titik dilalui oleh suatu persamaan, maka titik tersebut bisa disubstitusikan ke persamaan tersebut.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1, y_1) $ :
$\, \, \, \, \, \, y - y_1 = m(x - x_1 ) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ ( - 1,a) $ ke fungsi kuadrat :
$\begin{align} (x,y) = (-1,a) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ a & = a.(-1)^2 + b.(-1) + c \\ a & = a -b + c \\ c & = b \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memiliki jumlah kuadrat akar-akarnya sama dengan $ 3 $ :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = 3 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 & = 3 \\ (\frac{-b}{a})^2 - 2. \frac{c}{a} & = 3 \\ \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } a^2 ) \\ b^2 - 2ac & = 3a^2 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Garis singgung kurva $ f(x) = ax^2 + bx + c $ di titik $ (x_1,y_1) = (-1,a) $ melalui titik $ (0,3) $
-). Gradien : $ f^\prime (x) = 2ax + b $
$ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (-1) = 2a.(-1) + b = -2a + b $
-). Menyusun persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - a & = (-2a+b)(x-(-1)) \\ y - a & = (-2a+b)(x+1) \end{align} $
-). Substitusi titik $ (x,y) = (0,3) $ ke garis :
$\begin{align} y - a & = (-2a+b)(x+1) \\ 3 - a & = (-2a+b)(0+1) \\ 3 - a & = -2a+b \\ b & = a + 3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) dan (iii) ke pers(ii) :
$\begin{align} b^2 - 2ac & = 3a^2 \\ b^2 - 2ab & = 3a^2 \\ (a+3)^2 - 2a(a+3) & = 3a^2 \\ a^2 + 6a + 9 - 2a^2 - 6a & = 3a^2 \\ 4a^2 - 9 & = 0 \\ (2a + 3)(2a-3) & = 0 \\ a = -\frac{3}{2} \vee a & = \frac{3}{2} \end{align} $
Karena $ a < 0 $ , maka $ a = -\frac{3}{2} $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ b $ dari pers(iii) :
$\begin{align} b & = a + 3 = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ a $ dan $ b $ memenuhi sistem persamaan :
$\left\{ \begin{array}{c} \frac{3}{\log a} + \frac{4}{\log b} = 7 \\ -\frac{1}{\log a} + \frac{2}{\log b} = 11 \end{array} \right. $
maka $ {}^a \log \frac{1}{b} + {}^b \log \frac{1}{a} = ... $
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{7}{12} \, $ C). $ 1\frac{1}{6} \, $ D). $ 2\frac{1}{12} \, $ E). $ 2\frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan bisa menggunakan metode eliminasi dan substitusi
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $
$ {}^a \log a = 1 $
*). Sifat eksponen : $ (a^n)^m = a^{n.m} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi sistem persamaannya :
$\begin{array}{c|c|cc} \frac{3}{\log a} + \frac{4}{\log b} = 7 & \times 1 & \frac{3}{\log a} + \frac{4}{\log b} = 7 & \\ -\frac{1}{\log a} + \frac{2}{\log b} = 11 & \times 3 & -\frac{3}{\log a} + \frac{6}{\log b} = 33 & + \\ \hline & & \frac{10}{\log b} = 40 & \\ & & \log b = \frac{1}{4} & \\ & & b = 10^\frac{1}{4} & \end{array} $
*). Substitusi $ \log b = \frac{1}{4} $ ke pers(i) :
$\begin{align} \frac{3}{\log a} + \frac{4}{\log b} & = 7 \\ \frac{3}{\log a} + \frac{4}{\frac{1}{4}} & = 7 \\ \frac{3}{\log a} + 16 & = 7 \\ \frac{3}{\log a} & = -9 \\ \log a & = -\frac{1}{3} \\ a & = 10^{-\frac{1}{3}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ {}^a \log \frac{1}{b} + {}^b \log \frac{1}{a}$ :
$\begin{align} & {}^a \log \frac{1}{b} + {}^b \log \frac{1}{a} \\ & = {}^a \log b^{-1} + {}^b \log a^{-1} \\ & = {}^{10^{-\frac{1}{3}}} \log (10^\frac{1}{4})^{-1} + {}^{10^\frac{1}{4}} \log (10^{-\frac{1}{3}})^{-1} \\ & = {}^{10^{-\frac{1}{3}}} \log 10^{-\frac{1}{4}} + {}^{10^\frac{1}{4}} \log 10^{\frac{1}{3}} \\ & = \frac{-\frac{1}{4}}{ -\frac{1}{3} } . {}^{10} \log 10 + \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}} . {}^{10} \log 10 \\ & = \frac{3}{4} . 1 + \frac{4}{3} . 1 \\ & = \frac{3}{4} + \frac{4}{3} \\ & = \frac{9}{12} + \frac{16}{12} = \frac{25}{12} = 2 \frac{1}{12} \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^a \log \frac{1}{b} + {}^b \log \frac{1}{a} = 2\frac{1}{12} . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma Matriks UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Jika matriks $ \left( \begin{matrix} {}^4 \log 2^x & 1 \\ {}^2 \log 4^y & x \end{matrix} \right) $ tidak mempunyai invers dan $ x^2 + y^2 = 32 $, maka nilai $ {}^x \log y = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Determinan matriks A : $ det(A) = ad - bc $
-). Syarat Matriks A tidak punya invers yaitu $ det(A) = 0 $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b = {}^{a^n} \log b^n $
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat eksponen : $ (a^n)^m = a^{n.m} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x) } = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Matriks $ \left( \begin{matrix} {}^4 \log 2^x & 1 \\ {}^2 \log 4^y & x \end{matrix} \right) $ , maka $ det = 0 $ :
$\begin{align} \text{determinan } & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x - 1. {}^2 \log 4^y & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x - {}^2 \log 4^y & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x & = {}^2 \log 4^y \\ {}^4 \log (2^x )^x & = {}^{2^2} \log (4^y)^2 \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log 4^{2y} \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log (2^2)^{2y} \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log 2^{4y} \, \, \, \, \, \, \text{(persamaan log)} \\ 2^{x^2} & = 2^{4y} \, \, \, \, \, \, \text{(persamaan eksponen)} \\ x^2 & = 4y \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
pada soal diketahui : $ x^2 + y^2 = 32 \, \, \, $ ....pers(ii)
*). Untuk menentukan nilai $ {}^x \log y $ , maka haruslah $ x > 0 $ dan $ y > 0 $.
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} x^2 + y^2 & = 32 \\ 4y + y^2 & = 32 \\ y^2 + 4y - 32 & = 0 \\ (y+8)(y-4) & = 0 \\ y = -8 \vee y & = 4 \end{align} $
Karena $ y > 0 $ , maka $ y = 4 $.
sehingga $ x^2 = 4y \rightarrow x^2 = 4.4 \rightarrow x^2 = 16 \rightarrow x = \pm 4 $
Karena $ x > 0 $ , maka $ x = 4 $
*). Menentukan Nilai $ {}^x \log y $ :
$\begin{align} {}^x \log y & = {}^4 \log 4 = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^x \log y = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Naik UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ f(x) = \frac{2x-1}{x+3} $ , maka fungsi $ f^\prime $ naik ketika ...
A). $ x < -3 \, $ B). $ -3 < x < -\frac{5}{4} \, $ C). $ x < -\frac{4}{5} \, $
D).$ x $ bilangan real kecuali $ x = -3 $
E). $ x > 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = a[f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.a[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $
*). Aplikasi turunan pada fungsi naik :
Syarat Fungsi $ y = g(x) $ naik yaitu $ g^\prime (x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi : $ f(x) = \frac{2x-1}{x+3} $
*). Misalkan $ g(x) = f^\prime (x) $.
Mencari interval fungsi $ f^\prime $ naik sama saja dengan mencari interval naik fungsi $ g(x) $.
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{2x-1}{x+3} = \frac{U}{V} \\ U & = 2x - 1 \rightarrow U^\prime = 2 \\ V & = x + 3 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2.(x+3) - (2x-1).1}{(x+3)^2} \\ & = \frac{2x + 6 - 2x + 1 }{(x+3)^2} \\ & = \frac{7 }{(x+3)^2} \end{align} $
Sehingga $ g(x) = f^\prime (x) = \frac{7 }{(x+3)^2} $
*). Menentukan $ g^\prime (x) $ :
$\begin{align} g(x) & = \frac{7 }{(x+3)^2} = 7(x+3)^{-2} \\ g^\prime (x) & = (-2).7.(x+3)^{-3} \\ & = \frac{-14}{(x+3)^3} \end{align} $
*). Syarat fungsi $ g(x) $ naik yaitu : $ g^\prime (x) > 0 $
$\begin{align} g^\prime (x) & > 0 \\ \frac{-14}{(x+3)^3} & > 0 \end{align} $
Agar $ \frac{-14}{(x+3)^3} > 0 $ , haruslah :
$ x + 3 < 0 \rightarrow x < - 3 $.
Jadi, fungsi $ f^\prime $ naik pada interval $ x < -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas

Ketika angka 1 sampai dengan 5 ditata berjejer embentuk suatu bilangan, maka peluang terbentuknya bilangan genap sehingga angka 2 tidak berada di posisi lebih depan daripada angka 1 adalah ...
A). $\frac{1}{8} \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{3}{10} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{2}{7} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus peluang kejadian A : $ P(A) $
$ \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel)
*). Banyak cara menyusun $ n $ bilangan adalah $ n! $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angkanya 1, 2, 3, 4, 5 untuk membentuk bilangan terdiri dari 5 digit.
*). Menentukan semua kemungkinan : $ n(S) $
$\begin{align} n(S) & = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 \end{align} $
*). Menentukan banyak kejadian yang diharapkan : $ n(A) $
Harapannya adalah terbentuknya bilangan genap sehingga angka 2 tidak berada di posisi lebih depan daripada angka 1. Berikut susunan yang mungkin :

sehingga $ n(A) = 4! + 3! + 4 + 2 = 36 $
*). Menentukan peluangnya :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \end{align} $
*). Keterangan gambar :
-). Agar terbentuk bilangan genap, maka satuannya (digit paling kanan) harus genap yaitu antara 2 atau 4.
-). kelima digit kita beri nama : digit 1 untuk puluhan ribu ( digit paling kiri), digit 2 untuk ribuan, digit 3 untuk ratusan, digit 4 untuk puluhan, dan digit 5 untuk satuan (digit paling kanan).
-). gambar 1 : angka 2 di satuan (digit 5) , empat digit sisanya diisi oleh 1,3,4,5 dengan $ 4! = 24 $ cara.
-). gambar 2 : angka 4 di satuan, angka 1 paling kiri (digit 1), tiga digit sisanya diisi oleh 2,3,5 dengan $ 3! = 6 $ cara.
-). gambar 3 : angka 4 di satuan, angka 1 di digit 2, digit 1 bisa diisi 3 atau 5 yaitu ada 2 cara, digit 3 dan digit 4 diisi oleh sisanya ditambah angka 2 yaitu 2 cara, sehingga gambar 3 ada $ 2 \times 2 = 4 $ cara.
-). gambar 4 : angka 4 di satuan, angka 1 di digit 3, digit 4 bisa diisi angka 2 saja, digit 1 dan digit 2 diisi oleh angka 3 dan 5 dengan $ 2! = 2 $ cara.
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{3}{10} . \, \heartsuit $

Pages - Menu