Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ a $ bilangan bulat dan $ P = \left( \begin{matrix} a & a^2 \\ 1 & 2
\end{matrix} \right) $ . Jika determinan $ P $ dan determinan $ P^{-1} $ sama,
maka nilai terbesar $ a $ adalah ...
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada matriks : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Determinan matriks A :
det$(A) = ad - bc $
-). Sifat determinan :
$ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $
*). Rumus ABC persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
*). Misalkan ada matriks : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Determinan matriks A :
det$(A) = ad - bc $
-). Sifat determinan :
$ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $
*). Rumus ABC persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks $ P = \left( \begin{matrix} a & a^2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) $
$ det(P) = a.2 - 1.a^2 = 2a - a^2 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} det(P) & = det(P^{-1}) \\ det(P) & = \frac{1}{det(P)} \\ [det(P)]^2 & = 1 \\ (2a - a^2)^2 & = 1 \\ (2a - a^2) & = \pm \sqrt{1} \\ (2a - a^2) & = \pm 1 \\ (2a - a^2) & = 1 \vee (2a - a^2) = -1 \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \vee a^2 - 2a - 1 = 0 \\ ( a - 1)^2 & = 0 \vee a_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4.1.(-1)}}{2.1} \\ ( a - 1) & = \sqrt{ 0 } \vee a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ ( a - 1) & = 0 \vee a_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ a & = 1 \vee a_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ a $ yang mungkin :
$ a = 1, a = 1 + \sqrt{2} $ , dan $ a = 1 - \sqrt{2} $
Karena $ a $ bilangan bulat, maka $ a = 1 $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ a $ terbesar adalah $ a = 1 . \, \heartsuit $
*). Diketahui matriks $ P = \left( \begin{matrix} a & a^2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) $
$ det(P) = a.2 - 1.a^2 = 2a - a^2 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} det(P) & = det(P^{-1}) \\ det(P) & = \frac{1}{det(P)} \\ [det(P)]^2 & = 1 \\ (2a - a^2)^2 & = 1 \\ (2a - a^2) & = \pm \sqrt{1} \\ (2a - a^2) & = \pm 1 \\ (2a - a^2) & = 1 \vee (2a - a^2) = -1 \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \vee a^2 - 2a - 1 = 0 \\ ( a - 1)^2 & = 0 \vee a_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4.1.(-1)}}{2.1} \\ ( a - 1) & = \sqrt{ 0 } \vee a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ ( a - 1) & = 0 \vee a_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ a & = 1 \vee a_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ a $ yang mungkin :
$ a = 1, a = 1 + \sqrt{2} $ , dan $ a = 1 - \sqrt{2} $
Karena $ a $ bilangan bulat, maka $ a = 1 $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ a $ terbesar adalah $ a = 1 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.