Soal yang Akan Dibahas
Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $ \frac{9}{4} $. Suku pertama dan rasio
deret tersebut masing-masing $ a $ dan $ -\frac{1}{a} $ , dengan $ a > 0 $. Jika $ U_n $
menyatakan suku ke-$n$ pada deret tersebut, maka $ 3U_6 - U_5 = ...$
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{27} \, $ C). $ -\frac{2}{27} \, $ D). $ \frac{1}{27} \, $ E). $ -\frac{1}{27} $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{27} \, $ C). $ -\frac{2}{27} \, $ D). $ \frac{1}{27} \, $ E). $ -\frac{1}{27} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ \, \, \, \, \, U_n = ar^{n-1} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
*). Jumlah deret geometri tak hingga :
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ \, \, \, \, \, U_n = ar^{n-1} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
*). Jumlah deret geometri tak hingga :
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ u_1 = a, \, r = -\frac{1}{a} $ , dan $ S_\infty = \frac{9}{4} $ :
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{9}{4} \\ \frac{u_1}{1-r} & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{1-(-\frac{1}{a}) } & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{1+\frac{1}{a} } & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{ \frac{a + 1}{a} } & = \frac{9}{4} \\ a . \frac{a}{ a+ 1} & = \frac{9}{4} \\ \frac{a^2}{ a+ 1} & = \frac{9}{4} \\ 4a^2 & = 9a + 9 \\ 4a^2 - 9a - 9 & = 0 \\ (4a+3)(a-3) & = 0 \\ (4a+3) = 0 \vee (a-3) & = 0 \\ a = -\frac{3}{4} \vee a & = 3 \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , maka $ a = 3 $ yang memenuhi.
sehingga $ r = -\frac{1}{a} = -\frac{1}{3} $
*). Menentukan nilai $ 3U_6 - U_5 $ :
$\begin{align} 3U_6 - U_5 & = 3ar^5 - ar^4 \\ & = ar^4 ( 3r - 1) \\ & = 3.(-\frac{1}{3})^4 \left( 3.(-\frac{1}{3}) - 1 \right) \\ & = 3. \frac{1}{81} . (-1-1) \\ & = \frac{1}{27} . (-2) = -\frac{2}{27} \end{align} $
Jadi, nilai $ 3U_6 - U_5 = -\frac{2}{27} . \, \heartsuit $
*). Diketahui $ u_1 = a, \, r = -\frac{1}{a} $ , dan $ S_\infty = \frac{9}{4} $ :
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{9}{4} \\ \frac{u_1}{1-r} & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{1-(-\frac{1}{a}) } & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{1+\frac{1}{a} } & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{ \frac{a + 1}{a} } & = \frac{9}{4} \\ a . \frac{a}{ a+ 1} & = \frac{9}{4} \\ \frac{a^2}{ a+ 1} & = \frac{9}{4} \\ 4a^2 & = 9a + 9 \\ 4a^2 - 9a - 9 & = 0 \\ (4a+3)(a-3) & = 0 \\ (4a+3) = 0 \vee (a-3) & = 0 \\ a = -\frac{3}{4} \vee a & = 3 \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , maka $ a = 3 $ yang memenuhi.
sehingga $ r = -\frac{1}{a} = -\frac{1}{3} $
*). Menentukan nilai $ 3U_6 - U_5 $ :
$\begin{align} 3U_6 - U_5 & = 3ar^5 - ar^4 \\ & = ar^4 ( 3r - 1) \\ & = 3.(-\frac{1}{3})^4 \left( 3.(-\frac{1}{3}) - 1 \right) \\ & = 3. \frac{1}{81} . (-1-1) \\ & = \frac{1}{27} . (-2) = -\frac{2}{27} \end{align} $
Jadi, nilai $ 3U_6 - U_5 = -\frac{2}{27} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.