Pembahasan Fungsi Turun UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f $ , dengan $ f(x) = \sqrt[3]{x^3+m^3x^6} $ turun pada $ (-\infty , -1] $ , dengan $ 8m^3 + 8 = ... $
A). $ 16 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat fungsi $ y = f(x) $ turun yaitu $ f^\prime (x) < 0 $
*). Pertidaksamaan $ g(x) < 0 $ memiliki penyelesaian $ x \leq a $ , artinya $ x = a $ memenuhi $ g(a) = 0 $.
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1}. f^\prime (x) $
*). Bentuk interval :
$ (a,b) \, $ artinya $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ artinya $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ artinya $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ artinya $ a \leq x \leq b $
*). Sifat eksponen :
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $ dan $ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \sqrt[3]{x^3+m^3x^6} $ :
$\begin{align} f(x) & = \sqrt[3]{x^3+m^3x^6} \\ f(x) & = (x^3+m^3x^6)^\frac{1}{3} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{3}.(x^3+m^3x^6)^{\frac{1}{3} - 1} . (3x^2 + 6m^3x^5) \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{3}.(x^3+m^3x^6)^{-\frac{2}{3} } . (3x^2 + 6m^3x^5) \\ f^\prime (x) & = \frac{3x^2 + 6m^3x^5}{3(x^3+m^3x^6)^{\frac{2}{3} }} \end{align} $
Syarat fungsi $ f(x) $ turun yaitu $ f^\prime (x) < 0 $ .
*). Pada soal diketahui $ f(x) $ turun pada interval $ (-\infty , -1] $ atau bisa ditulis $ x \leq -1 $. Artinya $ x \leq -1 $ adalah penyelesaian dari $ f^\prime (x) < 0 $ sehingga terpenuhi $ f^\prime (-1) = 0 $.
*). Menentukan nilai $ m $ dengan $ f^\prime (-1) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = \frac{3x^2 + 6m^3x^5}{3(x^3+m^3x^6)^{\frac{2}{3} }} \\ f^\prime (-1) & = 0 \\ \frac{3.(-1)^2 + 6m^3.(-1)^5}{3((-1)^3+m^3.(-1)^6)^{\frac{2}{3} }} & = 0 \\ \frac{3 + 6m^3.(-1) }{3(-1+m^3.1)^{\frac{2}{3} }} & = 0 \\ \frac{3 - 6m^3}{3(-1+m^3 )^{\frac{2}{3} }} & = 0 \\ 3 - 6m^3 & = 0 \times 3(-1+m^3 )^{\frac{2}{3} } \\ 3 - 6m^3 & = 0 \\ 6m^3 & = 3 \\ m^3 & = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ m^3 = \frac{1}{2} $
*). Menentukan nilai $ 8m^3 + 8 $ :
$\begin{align} 8m^3 + 8 & = 8. \frac{1}{2} + 8 = 4 + 8 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ 8m^3 + 8 = 12 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar