Pembahasan Garis Singgung UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = x^2 + ax + b $ dan $ y = x^3 + (c+1)x + a $ mempunyai garis singgung yang sama di titik $ (1,6) $ , maka $ a + b + c = ...$
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Jika suatu titik dilalui oleh kurva, maka titik tersebut boleh disubstitusikan ke fungsinya.
*). Gradien garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuii kurva $ y = x^2 + ax + b $ dan $ y = x^3 + (c+1)x + a $ mempunyai garis singgung yang sama di titik $ (1,6) $, artinya titik $ (x_1,y_1) = (1,6) $ dilalui oleh kedua kurva sehingga bisa kita substituskan ke persamaan kurvanya.
-). Substitusi $ (1,6) $ ke fungsi $ y = x^2 + ax + b $ :
$\begin{align} y & = x^2 + ax + b \\ 6 & = 1^2 + a.1 + b \\ 6 & = 1 + a + b \\ a + b & = 5 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
-). Substitusi $ (1,6) $ ke fungsi $ y = x^3 + (c+1)x + a $ :
$\begin{align} y & = x^3 + (c+1)x + a \\ 6 & = 1^3 + (c+1).1 + a \\ 6 & = 1 + c + 1 + a \\ a + c & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Menentukan gradien garis singgung ke masing-masing kurva dengan titik singgung $ (x_1,y_1) = (1,6) $ :
-). Kurva $ y = x^2 + ax + b \rightarrow y^\prime = 2x + a $
$ m_1 = f^\prime (1) = 2.1 + a = 2 + a $
-). Kurva $ y = x^3 + (c+1)x + a \rightarrow y^\prime = 3x^2 + c + 1 $
$ m_2 = f^\prime (1) = 3.1^2 + c + 1 = c + 4 $
-). Karena garis singgungnya cuma satu, maka gradien keduanya sama :
$\begin{align} m_1 & = m_2 \\ 2 + a & = c + 4 \\ a & = c + 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iii) ke pers(ii) :
$\begin{align} a + c & = 4 \\ (c + 2 ) + c & = 4 \\ 2c & = 2 \\ c & = 1 \end{align} $
Pers(iii) : $ a = c + 2 = 1 + 2 = 3 $
Pers(i) : $ a + b = 5 \rightarrow 3 + b = 5 \rightarrow b = 2 $
*). Menentukan nilai $ a + b + c $ :
$\begin{align} a + b + c & = 3 + 2 + 1 = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b + c = 6 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar