Pembahasan Limit UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^n - 3^n}{x^\frac{n}{3} - 3^\frac{n}{3}} = 3\sqrt[3]{81} $ , maka $ n = ...$
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki penyelesaian $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Bentuk akar : $ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
*). Persamaan eksponen : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil limitnya dengan substitusi :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^n - 3^n}{x^\frac{n}{3} - 3^\frac{n}{3}} & = \frac{3^n - 3^n}{3^\frac{n}{3} - 3^\frac{n}{3}} = \frac{0}{0} \end{align} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0}$, maka bisa menggunakan turunan
*). Menentukan nilai $ n $ :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^n - 3^n}{x^\frac{n}{3} - 3^\frac{n}{3}} & = 3\sqrt[3]{81} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{nx^{n-1} - 0}{\frac{n}{3}x^{\frac{n}{3} - 1} - 0} & = 3\sqrt[3]{3^4} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{nx^{n-1} }{\frac{n}{3}x^{\frac{n}{3} - 1} } & = 3. 3^\frac{4}{3} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} 3x^{(n-1) -(\frac{n}{3} - 1)} & = 3. 3^\frac{4}{3} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} 3x^\frac{2n}{3} & = 3. 3^\frac{4}{3} \\ 3 . 3^\frac{2n}{3} & = 3. 3^\frac{4}{3} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 3^\frac{2n}{3} & = 3^\frac{4}{3} \\ \frac{2n}{3} & = \frac{4}{3} \\ n & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ n = 2 . \, \heartsuit $

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