Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ (p,q) $ merupakan titik puncak grafik fungsi $ f(x)=ax^2+2ax+a+1 $ , dengan $ f(a) = 19 $ , maka $ p + 2q + 3a = ... $
A). $ 7 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memiliki titik puncak $ (x_p,y_p) $
dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $ dan $ y_p = f(x_p) $ atau $ y_p = \frac{D}{-4a} $
dimana $ D = b^2-4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x)=ax^2+2ax+a+1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f(a) = 19 $ :
$\begin{align} f(x) & = ax^2+2ax+a+1 \\ f(a) & = 19 \\ a.a^2+2a.a+a+1 & = 19 \\ a^3+2a^2+a-18 & = 0 \end{align} $
*). Untuk pemfaktoran bentuk $ a^3+2a^2+a-18 = 0 $ bisa menggunakan metode horner.
$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & 2 & 1 & -18 & \\ 2 & * & 2 & 8 & 18 & + \\ \hline & 1 & 4 & 9 & 0 & \end{array} $
Sehingga pemfaktorannya :
$\begin{align} a^3+2a^2+a-18 & = 0 \\ (a-2)(a^2 + 4a + 9) & = 0 \\ (a-2) = 0 \vee (a^2 + 4a + 9) & = 0 \\ a = 2 \vee (a^2 + 4a + 9) & = 0 \end{align} $
Sehingga kita peroleh nilai $ a = 2 $.
Fungsi kuadratnya menjadi :
$ f(x)=ax^2+2ax+a+1 \rightarrow f(x)=2x^2+2.2x+2+1 = 2x^2 + 4x + 3 $
*). Menentukan titik puncak $ (p,q) $ pada $ f(x) = 2x^2 + 4x + 3 $
$\begin{align} p & = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2.2} = -1 \\ q & = f(p) = f(-1) = 2.(-1)^2 + 4.(-1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p + 2q + 3a $ :
$\begin{align} p + 2q + 3a & = -1 + 2.1 + 3.2 = -1 + 2 + 6 = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ p + 2q + 3a = 7 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar