Pembahasan Lingkaran UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu X di $ (1,0) $ dan $ (3,0) $ . Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu Y, maka titik singgung yang mungkin adalah ...
A). $ (0,1) \, $ B). $ (0,2) \, $ C). $ (0,\sqrt{3}) $ D). $ (0,\sqrt{5}) \, $ E). $ (0,3) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Lingkaran menyinggung sumbu Y memiliki $ r = a $ dan titik singgungnya adalah $ (0,b) $.
*). Titik yang dilalui oleh suatu kurva bisa disubstitusikan ke persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

*). Misalkan pusat lingkarannya adalah $ (a,b) $. Karena lingkaran menyinggung sumbu Y, maka $ r = a $ dan titik singgung pada sumbu Y nya adalah $ (0,b) $. Sehingga persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 & = a^2 \\ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + b^2 & = 0 \end{align} $
*). Menyusun persamaan dengan substitusi titik yang dilalui oleh lingkaran :
-). Persamaan pertamaan :
$\begin{align} (1,0) \rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2by + b^2 & = 0 \\ 1^2 + 0^2 - 2a.1 - 2b.0 + b^2 & = 0 \\ 1 + 0 - 2a - 0 + b^2 & = 0 \\ b^2 & = 2a - 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ (3,0) \rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2by + b^2 & = 0 \\ 3^2 + 0^2 - 2a.3 - 2b.0 + b^2 & = 0 \\ 9 + 0 - 6a - 0 + b^2 & = 0 \\ b^2 - 6a & = -9 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} b^2 - 6a & = -9 \\ (2a-1) - 6a & = -9 \\ -4a & = -8 \\ a & = 2 \end{align} $
Sehingga dari pers(i) :
$ b^2 = 2a - 1 \rightarrow b^2 = 2.2 - 1 \rightarrow b^2 = 3 \rightarrow b = \pm \sqrt{3} $
Artinya titik singgung lingkaran dengan sumbu Y yaitu $ (0, \sqrt{3}) $ atau $ (0,-\sqrt{3}) $
Jadi, salah satu titik singgungnya adalah $ (0,\sqrt{3}) . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar