Soal yang Akan Dibahas
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu X di $ (1,0) $ dan
$ (3,0) $ . Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu Y, maka titik singgung
yang mungkin adalah ...
A). $ (0,1) \, $ B). $ (0,2) \, $ C). $ (0,\sqrt{3}) $ D). $ (0,\sqrt{5}) \, $ E). $ (0,3) $
A). $ (0,1) \, $ B). $ (0,2) \, $ C). $ (0,\sqrt{3}) $ D). $ (0,\sqrt{5}) \, $ E). $ (0,3) $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $
*). Jika suatu lingkaran melalui suatu titik, maka jari-jarinya sama dengan jarak titik pusat ke titik yang dilaluinya.
*). Misalkan lingkaran berpusat di $ (a,b) $ dan menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $ .
*). Jarak dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $
*). Jika suatu lingkaran melalui suatu titik, maka jari-jarinya sama dengan jarak titik pusat ke titik yang dilaluinya.
*). Misalkan lingkaran berpusat di $ (a,b) $ dan menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $ .
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
*). Misalkan pusat lingkarannya adalah $ (a,b) $. Karena lingkaran menyinggung sumbu Y, maka $ r_1 = a $ dan titik singgung pada sumbu Y nya adalah $ (0,b) $. Selain itu, jari-jari lingkaran juga bisa ditentukan :
$ r_2 = \sqrt{(a-1)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-1)^2 + b^2} \, $ (jarak $ (a,b) $ ke $ (1,0) $)
$ r_3 = \sqrt{(a-3)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \, $ (jarak $ (a,b) $ ke $ (3,0) $)
Dengan $ r_1 = r_2 = r_3 $ (karena ketiganya sama-sama sebagai jari-jari lingkaran).
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} r_2 & = r_3 \\ \sqrt{(a-1)^2 + b^2} & = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \\ (a-1)^2 + b^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (a-1)^2 & = (a-3)^2 \\ a^2 - 2a + 1 & = a^2 - 6a + 9 \\ 4a & = 8 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ b $ :
$\begin{align} r_2 & = r_1 \\ \sqrt{(a-1)^2 + b^2} & = a \\ (a-1)^2 + b^2 & = a^2 \\ (2-1)^2 + b^2 & = 2^2 \\ 1 + b^2 & = 4 \\ b^2 & = 3 \\ b & = \pm \sqrt{3} \end{align} $
Artinya titik singgung lingkaran dengan sumbu Y yaitu $ (0, \sqrt{3}) $ atau $ (0,-\sqrt{3}) $
Jadi, salah satu titik singgungnya adalah $ (0,\sqrt{3}) . \, \heartsuit $
*). Ilustrasi gambar :
*). Misalkan pusat lingkarannya adalah $ (a,b) $. Karena lingkaran menyinggung sumbu Y, maka $ r_1 = a $ dan titik singgung pada sumbu Y nya adalah $ (0,b) $. Selain itu, jari-jari lingkaran juga bisa ditentukan :
$ r_2 = \sqrt{(a-1)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-1)^2 + b^2} \, $ (jarak $ (a,b) $ ke $ (1,0) $)
$ r_3 = \sqrt{(a-3)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \, $ (jarak $ (a,b) $ ke $ (3,0) $)
Dengan $ r_1 = r_2 = r_3 $ (karena ketiganya sama-sama sebagai jari-jari lingkaran).
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} r_2 & = r_3 \\ \sqrt{(a-1)^2 + b^2} & = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \\ (a-1)^2 + b^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (a-1)^2 & = (a-3)^2 \\ a^2 - 2a + 1 & = a^2 - 6a + 9 \\ 4a & = 8 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ b $ :
$\begin{align} r_2 & = r_1 \\ \sqrt{(a-1)^2 + b^2} & = a \\ (a-1)^2 + b^2 & = a^2 \\ (2-1)^2 + b^2 & = 2^2 \\ 1 + b^2 & = 4 \\ b^2 & = 3 \\ b & = \pm \sqrt{3} \end{align} $
Artinya titik singgung lingkaran dengan sumbu Y yaitu $ (0, \sqrt{3}) $ atau $ (0,-\sqrt{3}) $
Jadi, salah satu titik singgungnya adalah $ (0,\sqrt{3}) . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.