Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 416

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ S_n \, $ adalah jumlah sampai suku ke-$n$ dari barisan geometri, $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $ , maka $ \frac{S_{11}}{S_8} = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 254 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus $ U_n $ dan $ S_n $ barisan geometri :
$ U_n = ar^{n-1} $
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio
$ S_1 = U_1 = a $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama : $ S_1 + S_6 = 1024 $
$\begin{align} S_1 + S_6 & = 1024 \\ a + \frac{a(r^6-1)}{r-1} & = 1024 \\ a \left( 1 + \frac{(r^6-1)}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r-1}{r-1} + \frac{r^6-1}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r^6 + r-2}{r-1} \right) & = 1024 \\ \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} & = a \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua : $ S_3 \times S_4 = 1023 $
dan substitusikan $ a = \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} $ ke pers(ii)
$\begin{align} S_3 \times S_4 & = 1023 \\ \frac{a(r^3-1)}{r-1} \times \frac{a(r^4-1)}{r-1} & = 1023 \\ a^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \left( \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} \right)^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r-1)^2}{(r^6 + r - 2)^2} . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = 1023 \\ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = \frac{1023}{1024^2} \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk persamaan terakhir yaitu :
$ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} = \frac{1023}{1024^2} $
Nah dari persamaan terakhir ini kita akan menentukan nilai $ r $, hanya saja sulit untuk dikerjakan.
*). Pertanyaan akhirnya :
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \end{align} $

Catatan :
-). Karena kita belum bisa menemukan nilai $ r $, maka soal ini belum bisa terjawab.
-). Jika dari pembaca telah menemukan cara menentukan $ r $ atau ide lainnya, mohon untuk share di kolom komentar ya untuk bisa menyelesaikan soal ini.
-). Mudah-mudahan soalnya tidak salah ya karena soal di tahun 2018 ini ada juga soal yang salah pertanyaannya, coba ikuti link berikut ini :
"Pembahasan barisan simak ui 2018 matipa kode 414"

Tidak ada komentar:

Posting Komentar