Soal yang Akan Dibahas
Jika $ S_n \, $ adalah jumlah sampai suku ke-$n$ dari barisan geometri,
$ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $ , maka
$ \frac{S_{11}}{S_8} = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 254 $
A). $ 3 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 254 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus $ U_n $ dan $ S_n $ barisan geometri :
$ U_n = ar^{n-1} $
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio
$ S_1 = U_1 = a $ .
*). Rumus $ U_n $ dan $ S_n $ barisan geometri :
$ U_n = ar^{n-1} $
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio
$ S_1 = U_1 = a $ .
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama : $ S_1 + S_6 = 1024 $
$\begin{align} S_1 + S_6 & = 1024 \\ a + \frac{a(r^6-1)}{r-1} & = 1024 \\ a \left( 1 + \frac{(r^6-1)}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r-1}{r-1} + \frac{r^6-1}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r^6 + r-2}{r-1} \right) & = 1024 \\ \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} & = a \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua : $ S_3 \times S_4 = 1023 $
dan substitusikan $ a = \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} $ ke pers(ii)
$\begin{align} S_3 \times S_4 & = 1023 \\ \frac{a(r^3-1)}{r-1} \times \frac{a(r^4-1)}{r-1} & = 1023 \\ a^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \left( \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} \right)^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r-1)^2}{(r^6 + r - 2)^2} . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = 1023 \\ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = \frac{1023}{1024^2} \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk persamaan terakhir yaitu :
$ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} = \frac{1023}{1024^2} $
Nah dari persamaan terakhir ini kita akan menentukan nilai $ r $, hanya saja sulit untuk dikerjakan.
*). Pertanyaan akhirnya :
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \end{align} $
Catatan :
-). Karena kita belum bisa menemukan nilai $ r $, maka soal ini belum bisa terjawab.
-). Jika dari pembaca telah menemukan cara menentukan $ r $ atau ide lainnya, mohon untuk share di kolom komentar ya untuk bisa menyelesaikan soal ini.
-). Mudah-mudahan soalnya tidak salah ya karena soal di tahun 2018 ini ada juga soal yang salah pertanyaannya, coba ikuti link berikut ini :
"Pembahasan barisan simak ui 2018 matipa kode 414"
Lanjutan pembahasan soal ini:
*). Persamaan ini $ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} = \frac{1023}{1024^2} $ tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat. Sehingga secara normal pada saat test sulit bagi kita untuk mengerjakan soal ini. Untuk menyelesaikannya kita bisa menggunakan metode coba-coba atau menggunakan software atau pendekatan lainnya. Dengan metode coba-coba, kita mulai dari $ r =2 $, $ r = 3 $, dan $ r = 4 $. Ternyataan persamaan tersebut memiliki penyelesaian antara $ 3 < r < 4 $. Sehingga kita coba pilih nilai $ r $ pembulatan keatas yaitu $ r = 4 $ dan pembulatan ke bawahnya yaitu $ r = 3 $.
*). Menentukan hasil akhir untuk $ r = 4 $:
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \\ & = \frac{4^{11} - 1}{4^8 -1} \\ & = 64, 0009613 \end{align} $
Kita bulatkan menjadi 64.
*). Menentukan hasil akhir untuk $ r = 3 $:
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \\ & = \frac{3^{11} - 1}{3^8 -1} \\ & = 27,0039634 \end{align} $
Kita bulatkan menjadi 27.
dioption yang ada yaitu 64.
Jadi, nilai dari $ \frac{S_{11}}{S_8} = 64 $ (hasil pembulatan).
Saran:
-). Jika menemukan bentuk soal seperti ini ketika test, sebaiknya dilewatkan saja karena membutuhkan waktu yang cukup banyak untuk menyelesaikannya. Terlebih lagi melibatkan bentuk pangkat yang angkanya cukup besar.
*). Diketahui : $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama : $ S_1 + S_6 = 1024 $
$\begin{align} S_1 + S_6 & = 1024 \\ a + \frac{a(r^6-1)}{r-1} & = 1024 \\ a \left( 1 + \frac{(r^6-1)}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r-1}{r-1} + \frac{r^6-1}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r^6 + r-2}{r-1} \right) & = 1024 \\ \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} & = a \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua : $ S_3 \times S_4 = 1023 $
dan substitusikan $ a = \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} $ ke pers(ii)
$\begin{align} S_3 \times S_4 & = 1023 \\ \frac{a(r^3-1)}{r-1} \times \frac{a(r^4-1)}{r-1} & = 1023 \\ a^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \left( \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} \right)^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r-1)^2}{(r^6 + r - 2)^2} . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = 1023 \\ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = \frac{1023}{1024^2} \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk persamaan terakhir yaitu :
$ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} = \frac{1023}{1024^2} $
Nah dari persamaan terakhir ini kita akan menentukan nilai $ r $, hanya saja sulit untuk dikerjakan.
*). Pertanyaan akhirnya :
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \end{align} $
Catatan :
-). Karena kita belum bisa menemukan nilai $ r $, maka soal ini belum bisa terjawab.
-). Jika dari pembaca telah menemukan cara menentukan $ r $ atau ide lainnya, mohon untuk share di kolom komentar ya untuk bisa menyelesaikan soal ini.
-). Mudah-mudahan soalnya tidak salah ya karena soal di tahun 2018 ini ada juga soal yang salah pertanyaannya, coba ikuti link berikut ini :
"Pembahasan barisan simak ui 2018 matipa kode 414"
Lanjutan pembahasan soal ini:
*). Persamaan ini $ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} = \frac{1023}{1024^2} $ tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat. Sehingga secara normal pada saat test sulit bagi kita untuk mengerjakan soal ini. Untuk menyelesaikannya kita bisa menggunakan metode coba-coba atau menggunakan software atau pendekatan lainnya. Dengan metode coba-coba, kita mulai dari $ r =2 $, $ r = 3 $, dan $ r = 4 $. Ternyataan persamaan tersebut memiliki penyelesaian antara $ 3 < r < 4 $. Sehingga kita coba pilih nilai $ r $ pembulatan keatas yaitu $ r = 4 $ dan pembulatan ke bawahnya yaitu $ r = 3 $.
*). Menentukan hasil akhir untuk $ r = 4 $:
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \\ & = \frac{4^{11} - 1}{4^8 -1} \\ & = 64, 0009613 \end{align} $
Kita bulatkan menjadi 64.
*). Menentukan hasil akhir untuk $ r = 3 $:
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \\ & = \frac{3^{11} - 1}{3^8 -1} \\ & = 27,0039634 \end{align} $
Kita bulatkan menjadi 27.
dioption yang ada yaitu 64.
Jadi, nilai dari $ \frac{S_{11}}{S_8} = 64 $ (hasil pembulatan).
Saran:
-). Jika menemukan bentuk soal seperti ini ketika test, sebaiknya dilewatkan saja karena membutuhkan waktu yang cukup banyak untuk menyelesaikannya. Terlebih lagi melibatkan bentuk pangkat yang angkanya cukup besar.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.