Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah barisan $ 0, \frac{3}{4}, \frac{3}{16}, \frac{9}{64} , .... $ Jumlah 12 suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{12}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}} \, $
C). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{1}{2^{22}} \, $ E). $ \frac{3}{2^{12}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap barisan memiliki pola atau rumus tersendiri.
*). Sifat eksponen :
untuk $ n \, $ ganjil, $ (-1)^n = -1 $
untuk $ n \, $ genap, $ (-1)^n = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sebuah barisan $ 0, \frac{3}{4}, \frac{3}{16}, \frac{9}{64} , .... $ :
-). Penjabaran setiap sukunya :
$ u_1 = 0 = \frac{1}{2^0} - \frac{1}{2^0} = \frac{1}{2^{1-1}} + (-1)^1 \frac{1}{2^{2(1-1)}} $
$ u_2 = \frac{3}{4} = \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2^{2-1}} + (-1)^2 . \frac{1}{2^{2(2-1)}} $
$ u_3 = \frac{3}{16} = \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^4} = \frac{1}{2^{3-1}} + (-1)^3 . \frac{1}{2^{2(3-1)}} $
$ u_4 = \frac{9}{64} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6} = \frac{1}{2^{4-1}} + (-1)^4 . \frac{1}{2^{2(4-1)}} $
......
$ u_n = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{2^{2(n-1)}} $
-). Sehingga rumus umum suku ke-$n$ nya yaitu :
$ u_n = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{2^{2(n-1)}} $
*). Menentukan jumlah 12 suku pertamanya :
Jika kita hitung nilai $ s_{12} $ maka hasilnya yaitu :
$ s_{12} = \frac{6}{5} + \frac{1}{5 \times 2^{22}} - \frac{1}{2^{11}} $
Hasil ini tidak ada dioptionnya.
*). Menurut kami pertanyaannya kurang tepat jika optionnya seperti itu. Yang ditanyakan adalah suku ke-12 nya.
*). Menentukan suku ke-12 :
$\begin{align} u_n & = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{2^{2(n-1)}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{12-1}} + (-1)^{12} . \frac{1}{2^{2(12-1)}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{11}} + 1 . \frac{1}{2^{2(11)}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}} \end{align} $
Jadi, suku ke-12 adalah $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar