Pembahasan Dimensi Tiga Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui balok ABCD.EFGH dimana AB = 6 cm, BC = 8 cm, BF = 4 cm. Misalkan $ \alpha $ adalah sudut antara AH dan BD, maka $ \cos 2\alpha = .... $
A). $ \frac{61}{5\sqrt{5}} \, $ B). $ \frac{8}{5\sqrt{5}} \, $ C). $ \frac{3}{5\sqrt{5}} \, $ D). $ \frac{8}{125} \, $ E). $ \frac{3}{125} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC :
$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $
*). RUmus sudut rangkap :
$ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
*). Untuk menentukan sudut pada dimensi tiga, salah satu garis bisa digeser sejajar dengan aslinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 

-). Garis AH dan BD belum berpotongan (belum bertemu), sehingga kita geser salah satu geser agar mereka berpotongan yaitu geser garis AH ke garis BG (AH sejajar BG), sehingga sudutnya antara garis BG dan BD. $ \alpha = \angle (AH, BD) = \angle (BG, BD) $
-). Menentukan panjang pada segitiga BDG :
$ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 $
$ DG = \sqrt{CD^2 + CG^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{15} $
$ BG = \sqrt{CB^2 + CG^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} $
*). Aturan segitiga pada segitiga BDG :
$\begin{align} \cos DBG & = \frac{BD^2 + BG^2 - DG^2}{2.BD.BG} \\ \cos \alpha & = \frac{10^2 + (\sqrt{80})^2 - (\sqrt{52})^2}{2.10.4\sqrt{5}} \\ & = \frac{100 + 80 - 52}{80\sqrt{5}} \\ & = \frac{128}{80\sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos 2 \alpha $ :
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = 2\cos ^2 \alpha - 1 \\ & = 2 (\frac{8}{5\sqrt{5}} )^2 - 1 \\ & = \frac{128}{125} - \frac{125}{125} = \frac{3}{125} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 2 \alpha = \frac{3}{125} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar