Pembahasan Integral Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Daerah yang dibatasi oleh garis $ x = 3y $ dan kurva $ y = \sqrt{x} $ pada $ 0 \leq x \leq m $ , $ m > 0 $ terdiri dari dua bagian. Agar kedua bagian daerah tersebut mempunyai luas yang sama, maka $ m = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luasan yang dibatasi oleh fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ yaitu :
Luas $ = \int \limits_a^b [f(x) - g(x)] dx $
dengan kurva $ f(x) $ di atas kurva $ g(x) $
*). RUmus integral fungsi aljabar :
$ \int ax^n dx = a. \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketaui garis $ x = 3y \rightarrow y = \frac{1}{3}x $ dan kurva $ y = \sqrt{x} $
Ilustrasi gambar untuk interval $ 0 \leq x \leq m $
 

Titik potong kedua kurva :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{1}{3}x & = \sqrt{x} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{1}{9}x^2 & = x \\ x^2 & = 9x \\ x^2 - 9x & = 0 \\ x(x-9) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 9 \end{align} $
titik potongnya di $ x = 0 $ dan $ x = 9 $
*). Menentukan nilai $ m $ :
$\begin{align} \text{Luas I} & = \text{Luas II} \\ \int \limits_0^9 (\sqrt{x} - \frac{1}{3}x) dx & = \int \limits_9^m (\frac{1}{3}x - \sqrt{x}) dx \\ \int \limits_0^9 (x^\frac{1}{2} - \frac{1}{3}x) dx & = \int \limits_9^m (\frac{1}{3}x - x^\frac{1}{2}) dx \\ [\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}x^2]_0^9 & = [\frac{1}{6}x^2 - \frac{2}{3}x^\frac{3}{2}]_9^m \\ [\frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2]-0 & = [\frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2}]- [\frac{1}{6}.9^2 - \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2}] \\ \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2 & = \frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2 + \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} \\ 0 & = \frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 0 & = m^2 - 4m^\frac{3}{2} \\ m^2 & = 4m^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ m^4 & = 16m^3 \\ m & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 16 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar