Pembahasan Pertidaksamaan Akar UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan $ \sqrt{x^2-x+1} \leq \sqrt{x+1} $ adalah $ \{ x|x \text{ bilangan real }, a \leq x \leq b \} $ , maka $ a + b = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat bentuk akar :
$ \sqrt{f(x)} \rightarrow f(x) \geq 0 $
*). Solusi total adalah irisan semua solusinya.
*). Untuk bentuk $ ax^2 + bx + c \geq 0 $ dengan $ a > 0 $ dan $ D < 0 $ , maka disebut definit positif yang terpenuhi untuk semua $ x $ bilangan real.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pertidaksamaan $ \sqrt{x^2-x+1} \leq \sqrt{x+1} $
*). Menentukan Solusi syaratnya :
-). Syarat pertama : $ x^2-x+1 \geq 0 $
$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4.1.1 = 1 - 4 = -3 $
Bentuk $ x^2-x+1 $ tidak bisa difaktorkan karena nilai $ D < 0 $. Karena $ D < 0 $ dan $ a > 0 $ , maka bentuk $ x^2-x+1 $ adalah definit positif (selalu positif untuk semua $ x $), serta $ x^2-x+1 \geq 0 $ (positif lebih besar dari 0) adalah benar, maka untuk syarat pertamanya terpenuhi untuk semua $ x $ bilangan real.
-). Syarat kedua : $ x + 1 \geq 0 $
$ x + 1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 $
Sehingga HP1 = $ \{ x \geq -1 \} $
*). Menentukan solusi pokok dengan dikuadratkan :
$\begin{align} \sqrt{x^2-x+1} & \leq \sqrt{x+1} \\ (\sqrt{x^2-x+1})^2 & \leq (\sqrt{x+1})^2 \\ x^2 - x + 1 \geq x + 1 \\ x^2 - 2x \geq 0 \\ x(x-2) \geq 0 \\ x = 0 \vee x & = 2 \end{align} $
gambar garis bilangan
 

HP2 = $ \{ 0 \leq x \leq 2 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x \geq -1 \} \cap \{ 0 \leq x \leq 2 \} \\ & = \{ 0 \leq x \leq 2 \} \end{align} $
Solusi akhirnya $ \{ 0 \leq x \leq 2 \} $ sama dengan $ a \leq x \leq b $
ini artinya $ a = 0 $ dan $ b = 2 $
Sehingga $ a + b = 0 + 2 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar