Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan real $ a > 0 $ dan $ a \neq 1 $. Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, maka kuadrat nilai-nilai $ y $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika yaitu selisih sama.
Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
Berlaku : $ u_2-u_1=u_3-u_2=u_4-u_3=.... $
*). Bentuk $ {}^a \log b $ syaratnya $ a > 0, b > 0, a \neq 1 $.
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, artinya $ u_1 = {}^a \log y $ , $ u_2 = {}^a \log (y+1) $ , dan $ u_3 = {}^a \log (3y+1) $. Sesuai syarat logaritma, maka $ y > 0 $.
*). Menentukan nilai $ y $ dengan ciri-ciri aritmetika :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ {}^a \log (y+1) - {}^a \log y & = {}^a \log (3y+1) - {}^a \log (y+1) \\ {}^a \log \frac{y+1}{y} & = {}^a \log \frac{3y+1}{y+1} \\ \frac{y+1}{y} & = \frac{3y+1}{y+1} \\ y(3y+1) & = (y+1)^2 \\ 3y^2 + y & = y^2 + 2y + 1 \\ 2y^2 - y - 1 & = 0 \\ (2y +1)(y-1) & = 0 \\ y = -\frac{1}{2} \vee y & = 1 \end{align} $
Karena $ y > 0 $ , maka $ y = 1 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ y^2 $ :
$\begin{align} y^2 & = 1^2 = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ y^2 = 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar