dunia informa: matipa um ugm 2019 kode 624

Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm 2019 kode 624. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Garis Singgung UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Jika garis singgung kurva $ y = x^3 - 3x^2 - 9x $ di titik $ (a,b) $ mempunyai gradien 15, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ -6 \, $ E). $ -8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
-).Gradien garis singgungnya : $ m = f^\prime (x_1) $ atau $ f^\prime (x_1) = m $
-). Titik singgung $ (x_1,y_1) $ dapat disubstitusikan ke fungsi kurvanya.
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = cx \rightarrow y^\prime = c $
$ y = cx^n \rightarrow y^\prime = n.cx^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Garis singgung kurva $ y = x^3 - 3x^2 - 9x $ di titik $ (a,b) $. Substitusi titik $(x,y)=(a,b) $ ke kurvanya :
$ b = a^3 - 3a^2 - 9a \, $ ......(i)
*). Turunan fungsi kurvanya :
$ f^\prime (x) = 3x^2 - 6x - 9 $
*). Gradien garis singgung = 15 di titik $ (a,b) $
$\begin{align} f^\prime (a) & = m \\ 3a^2 - 6a - 9 & = 15 \\ 3a^2 - 6a - 24 & = 0 \\ a^2 - 2a - 8 & = 0 \\ (a+2)(a-4) & = 0 \\ a = -2 \vee a & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ b $ dari pers(i) dan $ a + b $ :
Persamaan (i) : $ b = a^3 - 3a^2 - 9a $
$\begin{align} a = -2 \rightarrow b & = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) \\ b & = -8 - 12 + 18 \\ b & = -2 \\ a + b & = -2 + (-2) = -4 \\ a = 4 \rightarrow b & = 4^3 - 3(4)^2 - 9(4) \\ b & = -20 \\ a + b & = 4 + (-20) = -16 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = -4 $ atau $ a + b = -16 $
Yang ada di option adalah $ a + b = -4 $.
Jadi, nilai $ a + b = -4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Mutlak UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Banyaknya bilangan real $ x $ yang memenuhi persamaan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak, kita hilangkan dulu tanda mutlaknya dengan definisi nilai mutlak di atas.
*). Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
Rumus ABC : $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui persamaan : $ |x^2-4|=x+|x-2| $
*). Definisi nilai mutlak :
-). Pertama untuk $ |x-2| $
$ x - 2 $ positif untuk $ x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq 0 $
$ x - 2 $ negatif untuk $ x - 2 < 0 \rightarrow x < 2 $
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & \text{untuk } x \geq 2 \\ -(x-2) & \text{untuk } x < 2 \end{array} \right. $
-). Kedua untuk $ |x^2-4| $ :
$ x^2-4 $ positif untuk $ x^2-4\geq 0 \rightarrow x \leq -2 \vee x \geq 0 $
$ x^2-4 $ negatif untuk $ x^2-4 < 0 \rightarrow -2 < x < 2 $
$ |x^2-4| = \left\{ \begin{array}{cc} x^2-4 & \text{untuk } x \leq -2 \vee x \geq 2 \\ -(x^2-4) & \text{untuk } -2 < x < 2 \end{array} \right. $
*). Sesuai dengan definisi di atas, bentuk mutlaknya dibatasi oleh $ x = -2 $ dan $ x = 2 $. Artinya terbentuk tiga kemungkinan (daerah) nilai $ x $ yaitu
Daerah I: $ x < -2 $
$ |x - 2 | = -(x-2) = -x + 2 $ dan $ |x^2-4| = x^2-4 $
Daerah II : $ -2 \leq x < 2 $
$ |x - 2 | = -(x-2) = -x + 2 $ dan $ |x^2-4| = -(x^2-4) = -x^2+4 $
Daerah III : $ x \geq 2 $
$ |x - 2 | = x-2 $ dan $ |x^2-4| = x^2-4 $
*). Menyelesaikan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ berdasarkan nilai $ x $ (daerah $x$) :
-). Daerah I: $ x < -2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ x^2-4 & =x+ (-x+2) \\ x^2 & = 6 \\ x & = \pm \sqrt{6} \end{align} $
Karena daerah I $ x < -2 $ , maka $ x_1 = -\sqrt{6} $ yang memenuhi.
-). Daerah II: $ -2 \leq x < 2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ -x^2+4 & =x+ (-x+2) \\ x^2 & = 2 \\ x & = \sqrt{2} \end{align} $
$ x_2 = -\sqrt{2} \, $ dan $ x_3 = \sqrt{2} $ memenuhi daerah II.
-). Daerah III : $ x \geq 2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ x^2-4 & =x+ x - 2 \\ x^2 - 2x - 2 & = 0 \end{align} $
Dengan Rumus ABC :
$\begin{align} x & = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4.1.(-2)}}{2.1} \\ & = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ & = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ & = 1 \pm \sqrt{3} \end{align} $
Karena daerah III $ x \geq 2 $ , maka $ x_4 = 1 + \sqrt{3} $ yang memenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya yaitu :
Hp $ = \{ -\sqrt{6}, -\sqrt{2} , \sqrt{2} , 1 +\sqrt{3} \} $
Artinya ada 4 nilai $ x $ yang memenuhi.
Jadi, ada 4 solusi nilai $ x . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Bilangan $ A > 0 $ sehingga lingkaran $ x^2+y^2+2x-4Ay+40=0 $ mempunyai jari-jari $ A + 1 $ adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ mempunyai jari-jari :
$ r = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C} $
atau $ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C $ atau $ \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C = r^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkarannya $ x^2+y^2+2x-4Ay+40=0 $
-). pada pembahasan ini, sementara kita ganti $ A + 1 $ dengan $ k + 1 $ agar tidak bingung dengan nilai $ A $ pada persamaan lingkarannya, sehingga pesamaannya menjadi : $ x^2+y^2+2x-4ky+40=0 $
$ A = 2 , B = -4k \, $ , dan $ C = 40 $
Diketahui jari-jarinya : $ r = k + 1 $ dengan $ k > 0 $.
*). Menentukan nilai $ k $ :
$\begin{align} \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C & = r^2 \\ \frac{1}{4}.2^2 + \frac{1}{4}.(-4k)^2 - 40 & = (k+1)^2 \\ 1 + \frac{1}{4}.(16k^2) - 40 & = k^2 + 2k + 1 \\ 1 + 4k^2 - 40 & = k^2 + 2k + 1 \\ 3k^2 - 2k - 40 & = 0 \\ (3k+10)(k-4) & = 0 \\ k = -\frac{10}{3} \vee k & = 4 \end{align} $
karena $ k > 0 $ , nilai $ k = 4 $ yang memenuhi.
Sehingga nilai $ A = k = 4 $.
Jadi, nilai $ A = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Suku banyak $ p(x) $ bersisa 2 jika dibagi $ x - 1 $ dan tak bersisa jika dibagi $ x+1 $. Suku banyak $ q(x) $ bersisa $ 2x $ jika dibagi $ x^2 - 1 $. Jika suku banyak $ p(x)+q(x) $ dibagi $ x^2 - 1 $ , maka sisanya adalah ....
A). $ 3x - 1 \, $ B). $ 3x + 1 \, $
C). $ -3x+2 \, $ D). $ -3x-2 \, $
E). $ 3x+2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema SISA :
Misalkan ada suku banyak $ f(x) $ jika dibagi $ x + a $ bersisa b, maka dapat ditulis $ f(-a) = b $. (Substitusikan akar dari pembaginya dan hasilnya adalah sisanya).
*). Derajat sisa pembagian selalu lebih kecil dari derajat pembaginya.
Contoh:
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ dibagi $ g(x) = px^2 + qx + r $ memberikan sisa $ mx + n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). $ p(x) $ bersisa 2 jika dibagi $ x - 1 $ , akarnya $ x - 1 = 0 \rightarrow x = 1 $. Persamaannya $ p(1) = 2 $
-). $ p(x) $ tak bersisa (sisa = 0) jika dibagi $ x+1 $, akarnya $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $. Persamaannya $ p(-1) = 0 $
-). $ q(x) $ bersisa $ 2x $ jika dibagi $ x^2 - 1 $
akarnya : $ x^2 -1 = 0 \rightarrow (x+1)(x-1) = 0 \rightarrow x = - 1 \vee x = 1 $
$ x = -1 \rightarrow q(-1) = 2(-1) \rightarrow q(-1) = -2 $
$ x = 1 \rightarrow q(1) = 2(1) \rightarrow q(1) = 2 $
*). $ p(x) + q(x) $ dibagi $ x^2 - 1 $, kita misalkan sisanya $ s(x) = mx+n $.
Akar-akar pembaginya : $ x^2 - 1 = 0 \rightarrow x = -1 \vee x = 1 $
Substitusi akar-akar ke $ p(x) + q(x) $ dan sisa $ s(x) = mx + n $ :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow p(1) + q(1) & = s(1) \\ 2 + 2 & = m. 1 + n \\ m + n & = 4 \, \, \, \, \text{...(i)} \\ x = -1 \rightarrow p(-1) + q(-1) & = s(-1) \\ 0 + (-2) & = m. (-1) + n \\ -m + n & = -2 \\ m & = n + 2 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke (i) :
$\begin{align} m + n & = 4 \\ (n+2) + n & = 4 \\ 2n & = 2 \\ n & = 1 \end{align} $
Pers(ii): $ m = n + 2 = 1 + 2 = 3 $
Sehingga sisanya :
$ s(x) = mx + n = 3x + 1 $
Jadi, sisanya adalah $ 3x + 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Misalkan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri. Jika $ U_3-U_2=6 $ dan $ U_4-U_2=18 $, maka $ U_5 + U_3 = .... $
A). $ 40 \, $ B). $ 50 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 70 \, $ E). $ 80 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = a.r^{n-1} $
Contoh penjabarannya :
$ u_1 = a, u_2 = ar , u_3 = ar^2, u_4 = ar^3 , .... $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama : $ U_3-U_2=6 $
$\begin{align} U_3-U_2 & =6 \\ ar^2-ar & =6 \\ a(r^2 - r) & = 6 \\ ar(r-1) & = 6 \\ a & = \frac{6}{r(r-1)} \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ U_4-U_2=18 $
$\begin{align} U_4-U_2 & =18 \\ ar^3-ar & =18 \\ ar(r^2 - 1) & = 18 \\ ar(r+1)(r - 1) & = 18 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} ar(r+1)(r - 1) & = 18 \\ \frac{6}{r(r-1)} . r(r+1)(r - 1) & = 18 \\ 6(r+1) & = 18 \\ (r+1) & = 3 \\ r & = 2 \end{align} $
Pers(i): $ a = \frac{6}{r(r-1)} = \frac{6}{2.(2-1)} = \frac{6}{2} = 3 $
*). Menentukan nilai $ U_5 + U_3 $ :
$\begin{align} U_5 + U_3 & = ar^4 + ar^2 \\ & = 3. 2^4 + 3. 2^2 \\ & = 48 + 12 = 60 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_5 + U_3 = 60 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan kubus ABCD.EFGH. Jika O titik tengah DH dan P adalah titik tengah BF, maka perbandingan luas $\Delta$AOP dan $ \Delta$HFC adalah ....
A). $ 1 : 2 \, $ B). $ \sqrt{2} : 1 \, $ C). $ 1 : 3 \, $ D). $ 2 : 1 \, $ E). $ \sqrt{2} : 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas Segitiga $ = \frac{1}{2}.a.t $
*). Untuk menentukan panjang sisi pada segitiga siku-siku bisa menggunakan pythagoras.
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{ab} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk memudahkan perhitungan, kita pilih panjang rusuk kubus 2 satuan.

-). Panjang AO pada $\Delta AOD $:
$ AO = \sqrt{AD^2+DO^2} = \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} $
$ AP = AO = \sqrt{5} $
-). Panjang HF pada $\Delta FGH $:
$ HF = \sqrt{FG^2+GH^2} = \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8} = 2 \sqrt{2} $
$ OP = HF = 2\sqrt{2} $
$ HC = CF = HF = 2\sqrt{2} $
-). Panjang AM pada $\Delta APM $:
$ AM = \sqrt{AP^2-MP^2} = \sqrt{\sqrt{5}^2- \sqrt{2}^2}=\sqrt{3} $
-). Panjang HN pada $\Delta HCN $:
$ HN = \sqrt{HC^2-CN^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2- \sqrt{2}^2}=\sqrt{6} $
*). Menentukan luas $ \Delta AOP $ :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta AOP & = \frac{1}{2}. OP. AM \\ & = \frac{1}{2}. 2\sqrt{2} . \sqrt{3} = \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan luas $ \Delta HCF $ :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta HCF & = \frac{1}{2}. CF. HN \\ & = \frac{1}{2}. 2\sqrt{2} . \sqrt{6} = \sqrt{2} . \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan perbandingan luas segitiganya :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta HCF : \text{Luas } \Delta AOP & = \sqrt{2} . \sqrt{6} : \sqrt{6} \\ & = \sqrt{2} : 1 \end{align} $
Jadi, perbandingan luas $\Delta$AOP dan $ \Delta$HFC adalah $ \sqrt{2} : 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} . {}^3 \log \sqrt{a} = a - 2 $ , maka $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -3 \, $ E). $ -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} \, {}^a \log b $
$ {}^{a } \log b^n = n \, {}^a \log b $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
*). Sifat eksponen :
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 3^a = p > 0 $
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} . {}^3 \log \sqrt{a} & = a - 2 \\ {}^3 \log \sqrt{a} . {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} & = a - 2 \\ {}^3 \log a^\frac{1}{2} . {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} & = a - 2 \\ \frac{1}{2} \, {}^3 \log a . \frac{-4}{2} \, {}^{a} \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ \frac{1}{2} . \frac{-4}{2} \, {}^3 \log a . {}^{a} \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ (-1) \, {}^3 \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ {}^3 \log (3^a - 8) & = -(a - 2) \\ {}^3 \log (3^a - 8) & = 2 - a \\ 3^a - 8 & = 3^{2 - a} \\ 3^a - 8 & = \frac{3^2}{3^a} \\ p - 8 & = \frac{9}{p} \\ p^2 - 8p & = 9 \\ p^2 - 8p - 9 & = 0 \\ (p +1)(p-9) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 9 \end{align} $
Yang memenuhi $ p = 9 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} p & = 9 \\ 3^a & = 3^2 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) $ :
$\begin{align} {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) & = {}^2 \log \left( \frac{1}{2^3} \right) \\ & = {}^2 \log \left( 2^{-3} \right) \\ & = (-3) \, {}^2 \log 2 \\ & = -3 . 1 = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan bilangan real $ a > 0 $ dan $ a \neq 1 $. Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, maka kuadrat nilai-nilai $ y $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika yaitu selisih sama.
Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
Berlaku : $ u_2-u_1=u_3-u_2=u_4-u_3=.... $
*). Bentuk $ {}^a \log b $ syaratnya $ a > 0, b > 0, a \neq 1 $.
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, artinya $ u_1 = {}^a \log y $ , $ u_2 = {}^a \log (y+1) $ , dan $ u_3 = {}^a \log (3y+1) $. Sesuai syarat logaritma, maka $ y > 0 $.
*). Menentukan nilai $ y $ dengan ciri-ciri aritmetika :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ {}^a \log (y+1) - {}^a \log y & = {}^a \log (3y+1) - {}^a \log (y+1) \\ {}^a \log \frac{y+1}{y} & = {}^a \log \frac{3y+1}{y+1} \\ \frac{y+1}{y} & = \frac{3y+1}{y+1} \\ y(3y+1) & = (y+1)^2 \\ 3y^2 + y & = y^2 + 2y + 1 \\ 2y^2 - y - 1 & = 0 \\ (2y +1)(y-1) & = 0 \\ y = -\frac{1}{2} \vee y & = 1 \end{align} $
Karena $ y > 0 $ , maka $ y = 1 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ y^2 $ :
$\begin{align} y^2 & = 1^2 = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ y^2 = 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{\pi}{12} \, $ C). $ -\frac{\pi}{9} \, $ D). $ -\frac{\pi}{8} \, $ E). $ -\frac{\pi}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc g(x) . \cot g(x)) $
*). Rumus trigonometri dasar :
$ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
$ \cot A = \tan (90^\circ - A) \, $ dan $ \tan A = \cot (90^\circ - A) $
$ \tan (A-B) = -\tan (B-A) $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
$ \sin 2A = 2\sin A . \cos A $
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $
*). Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Mengubah bentuk fungsinya dan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y & = \tan [90^\circ - ( x+ 60^\circ )] - \cot [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ y & = \tan (30^\circ - x) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\tan (x - 30^\circ ) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\frac{\sin (x - 30^\circ )}{\cos (x - 30^\circ )} - \frac{\cos (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-\sin ^2 (x - 30^\circ ) - \cos ^2 (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ ). \cos (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-[\sin ^2 (x - 30^\circ ) + \cos ^2 (x - 30^\circ )]}{\frac{1}{2} . \sin 2(x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-2}{\sin (2x - 60^\circ )} = -2\csc (2x - 60^\circ ) \\ y^\prime & = (-2). (2). (-\csc (2x - 60^\circ ) . \cot (2x - 60^\circ )) \\ & = 4. \frac{1}{\sin (2x - 60^\circ )} . \frac{\cos (2x - 60^\circ ) }{\sin (2x - 60^\circ )} \\ & = \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} \end{align} $
*). Syarat $ y^\prime = 0 $
$ \begin{align} y^\prime & = 0 \\ \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc ^2 g(x)) $
$ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x) $
*). Rumus trigonometri dasar :
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
$ \cos A = \sin (90^\circ - A) \, $ dan $ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$ \cos (-A) = \cos A $
$ \cos ^2 A - \sin ^2 A = \cos 2A $
*). Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right)- (-1).\sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ \end{align} $
*). Syarat : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) & = 0 \\ \frac{-1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } + \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} & = 0 \\ \frac{1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } & = \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} \\ \sin ^2 (x+60^\circ) & = \cos ^2 (120^\circ - x ) \\ \cos ^2[ 90^\circ - (x+60^\circ) ] & = \sin ^2 [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ \cos ^2 (30^\circ - x) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) - \sin ^2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos 2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Vektor UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $ , maka panjang vektor $ \vec{u} $ sama dengan ....
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{5}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \sqrt{2} \, $ D). $ \frac{5}{2}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{1}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Terdapat vektor $ \vec{u}=(a_1, a_2, a_3) $ dan $ \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) $
-). Perkalian dot : $ \vec{u}.\vec{v}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
-). Panjang vektor $ \vec{v} $ yaitu :
-). Kali skalar : $ k\vec{u} = k(a_1, a_2, a_3) = (ka_1, ka_2, ka_3) $
$ |\vec{v}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 } $
-). Panjang Proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} = \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $
*). Bentuk Mutlak :
$ |x|=k \rightarrow x = k \vee x = -k $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $. Artinya panjang proyeksinya sama saja dengan panjang vektor $ \vec{w} $ yaitu :
$ |\vec{w}| = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $
*). Memproses hasil proyeksinya :
$\begin{align} \text{Panjang Proyeksi } \vec{u} \text{ pada } \vec{v} & = |\vec{w}| \\ \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}| } \right| & = \vec{w} \\ \left| \frac{a.1 + (a+1).1 + 2.1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} } \right| & = 2\sqrt{3} \\ \left| \frac{2a + 3}{\sqrt{3} } \right| & = 2\sqrt{3} \\ |2a + 3| & = 2\sqrt{3} . \sqrt{3} \\ |2a + 3| & = 2.3 \\ |2a + 3| & = 6 \\ 2a + 3 = 6 \vee 2a + 3 & = -6 \\ a = \frac{3}{2} \vee a & = \frac{-9}{2} \end{align} $
Kita gunakan yang positif dulu.
Sehingga vektor $ \vec{u} $ menjadi :
$ \vec{u}=(a, a+1, 2) = \left( \frac{3}{2} , \frac{5}{2}, 2 \right) $
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$\begin{align} |\vec{u}| & = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4} \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + \frac{16}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{50}{4} } = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{25\times 2}}{\sqrt{4}} \\ & = \frac{\sqrt{25}.\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{u} $ adalah $ \frac{5}{2}\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Terdapat vektor $ \vec{u}=(a_1, a_2, a_3) $ dan $ \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) $
-). Perkalian dot : $ \vec{u}.\vec{v}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
-). Panjang vektor $ \vec{v} $ yaitu :
-). Kali skalar : $ k\vec{u} = k(a_1, a_2, a_3) = (ka_1, ka_2, ka_3) $
$ |\vec{v}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 } $
-). Proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} = \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{(|\vec{v}|)^2} \right) \vec{v} $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $.
*). Memproses hasil proyeksinya :
$\begin{align} \text{Proyeksi } \vec{u} \text{ pada } \vec{v} & = \vec{w} \\ \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{(|\vec{v}|)^2} \right) \vec{v} & = \vec{w} \\ \left( \frac{a.1 + (a+1).1+ 2.1}{(\sqrt{1^2+1^2+1^2} )^2} \right) \vec{v} & = (2,2,2) \\ \left( \frac{a + a + 1+ 2 }{(\sqrt{3} )^2} \right) \vec{v} & = (2,2,2) \\ \left( \frac{2a + 3}{3} \right) (1,1,1) & = (2,2,2) \\ \left( \frac{2a + 3}{3} , \frac{2a + 3}{3} , \frac{2a + 3}{3} \right) & = (2,2,2) \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ \frac{2a + 3}{3} = 2 \rightarrow 2a + 3 = 6 \rightarrow a = \frac{3}{2} $
Sehingga vektor $ \vec{u} $ menjadi :
$ \vec{u}=(a, a+1, 2) = \left( \frac{3}{2} , \frac{5}{2}, 2 \right) $
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$\begin{align} |\vec{u}| & = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4} \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + \frac{16}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{50}{4} } = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{25\times 2}}{\sqrt{4}} \\ & = \frac{\sqrt{25}.\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{u} $ adalah $ \frac{5}{2}\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah .....
A). $ 42\frac{5}{8} \, $ B). $ 32\frac{5}{8} \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 24\frac{5}{8} \, $ E). $ 24 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan geometri yaitu perbandingan sama.
Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
Berlaku : $ \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = k.r^{n-1} $
Keterangan :
$ k = \, $ suku pertama ($u_1$)
$ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
Catatan :
Sebenarnya rumusnya $ u_n = a.r^{n-1} $ , namun pada soal ini ternyata $ a $ sebagai suku ketiga, sehingga agar tidak membingungkan, maka kita ganti saja simbol suku pertama dengan $ k $ .
$ u_3 = kr^2 , u_4 = kr^3 $ , dan $ u_5 = kr^4 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Artinya $ u_3 = a $ , $ u_4 = \frac{1}{a} $ , dan $ u_5 = \frac{1}{a^2+2a} $. Karena $ r \neq 1 $ , maka nilai satu suku dengan suku lainnya yang berurutan tidak boleh sama.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \frac{u_4}{u_3} & = \frac{u_5}{u_4} \\ u_4.u_4 & = u_3.u_5 \\ \frac{1}{a}.\frac{1}{a} & = a. \frac{1}{a^2+2a} \\ \frac{1}{a^2} & = a. \frac{1}{a(a+2)} \\ \frac{1}{a^2} & = \frac{1}{(a+2)} \\ a^2 & = a + 2 \\ a^2 - a - 2 & = 0 \\ (a +1)(a-2) & = 0 \\ a = -1 \vee a & = 2 \end{align} $
-). Untuk $ a = -1 $ , kita peroleh :
$ u_3 = a = -1 $ , $ u_4 = \frac{1}{a} = \frac{1}{-1} = -1 $
Karena $ u_3 = u_4 $ maka $ r = 1 $ , padahal disoal tidak boleh $ r = 1 $ , sehingga $ a = -1 $ tidak memenuhi.
-). Untuk $ a = 2 $
$ u_3 = a \rightarrow kr^2 = 2 \rightarrow k = \frac{2}{r^2} \, $ ....(i)
$ u_4 = \frac{1}{a} \rightarrow kr^3 = \frac{1}{2} \, $ .... (ii)
*). Menentukan hasil kali 5 suku pertama :
$\begin{align} & u_1.u_2.u_3.u_4.u_5 \\ & = k.kr.kr^2.kr^3.kr^4 \\ & = k^5. r^{10} \\ & = (kr^2)^5 \\ & = (u_3)^5 \\ & = 2^5 = 32 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 32 . \, \heartsuit $

Catatan :
Kita juga boleh menentukan nilai $ k $ dan $ r $ dengan menyelesaikan pers(i) dan pers(ii), kemudian substitusikan ke soal yang ditanyakan.

Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \sqrt{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 2\sqrt{2} \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Cepat untuk bentuk limit trigonometri :
$ 1 - cos B = \frac{1}{2}B^2 $
dengan syarat nilai $ B = 0 $ ketika disubstitusi nilai $ x $ nya.
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{\frac{1}{2}(4x^2)^2}}{\frac{1}{2}(2x)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{\frac{1}{2}. 16x^4}}{\frac{1}{2}. 4x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{8x^4}}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{8}. \sqrt{x^4}}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sqrt{2}.x^2}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sqrt{2} }{2 } \\ & = \frac{2\sqrt{2} }{2 } \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = \sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \sqrt{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 2\sqrt{2} \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal limit bentuk tak tentu ($ \frac{0}{0}$) khusus fungsi trigonometri yaitu dengan menggunakan sifat limit fungsi trigonometri :
*). Sifat-sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin a x}{bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ a x}{\sin bx} = \frac{a}{b} $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \cos p A = 1 - 2\sin ^2 \frac{p}{2} A $
atau
$ 1 - \cos p A = 2 \sin ^2 \frac{p}{2} A $
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
$\begin{align} 1 - \cos 4 x^2 & = 2\sin ^2 \frac{4}{2} x^2 \\ & = 2 \sin ^2 2x^2 \\ 1 - \cos 2x & = 2\sin ^2 \frac{2}{2} x \\ & = 2\sin ^2 x \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2 \sin ^2 2x^2}}{2\sin ^2 x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sqrt{ \sin ^2 2x^2}}{2\sin x \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sin 2x^2}{2\sin x \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sin 2x^2}{2\sin x \sin x} \times \frac{x^2}{x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{ \sin 2x^2}{x^2} . \frac{x}{\sin x}. \frac{x}{\sin x} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{2}{1} . \frac{1}{1}. \frac{1}{1} \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = \sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 3(x^2-1)-2(y+1)=-1 \\ -2(x-1)+3(y+1)=13 \end{array} \right. $
Nilai $ x^2 + y $ adalah ....
A). $ 20 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan bentuk sistem persamaan, bisa dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} 3(x^2-1)-2(y+1)=-1 \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ -2(x-1)+3(y+1)=13 \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{array} \right. $
*). Pers(i) kali 3 dan pers(ii) kali 2 :
$ \begin{array}{cc} 9(x^2-1)-6(y+1)=-3 & \\ -4(x-1)+6(y+1)=26 & + \\ \hline 9(x^2-1) - 4(x - 1) = 23 & \\ 9x^2 - 4x - 28 = 0 & \\ (x - 2)(9x + 14) = 0 & \\ x = 2 \vee x = - \frac{14}{9} & \end{array} $
Karena $ x > 0 $ , maka $ x = 2 $ yang memenuhi.
*). Substitusi $ x = 2 $ ke pers(ii) :
$\begin{align} -2(x-1)+3(y+1) & = 13 \\ -2(2-1)+3(y+1) & = 13 \\ -2+3(y+1) & = 13 \\ 3(y+1) & = 15 \\ y + 1 & = 5 \\ y & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x^2 + y $ :
$\begin{align} x^2 + y & = 2^2 + 4 \\ & = 4 + 4 = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ x^2 + y = 8 . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x - 2^{-x} = p $
*). Menentukan bentuk $ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 $ dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} (2^x - 2^{-x})^2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^x . 2^{-x} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^{x + (-x)} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^{0} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 1 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 & = p^2 + 2 \end{align} $
*). Menentukan $ 2^x + 2^{-x} $ :
$\begin{align} (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^x . 2^{-x} \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2 \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (p^2 + 2) + 2 \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = p^2 + 4 \\ 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{ p^2 + 4 } \end{align} $
*). Mengubah soalnya ke dalam bentuk $ p $ :
$\begin{align} 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ (2^2)^x+ (2^2)^{-x}-2^2. 2^{-x} +2^2. 2^x -7 & = 0 \\ 2^{2x}+ 2^{-2x} -4. 2^{-x} + 4. 2^x -7 & = 0 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 4( 2^x - 2^{-x} ) -7 & = 0 \\ (p^2 + 2) + 4 p -7 & = 0 \\ p^2 + 4 p -5 & = 0 \\ (p -1)(p+5) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = - 5 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 2^x + 2^{-x} $ dengan nilai $ p $ :
$\begin{align} p = 1 \rightarrow 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{p^2 + 4} \\ & = \sqrt{1^2 + 4} \\ & = \sqrt{5} \\ p = -5 \rightarrow 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{p^2 + 4} \\ & = \sqrt{(-5)^2 + 4} \\ & = \sqrt{29} \end{align} $
Yang ada di option adalah $ p = \sqrt{5} $
Jadi, nilai $ 2^x + 2^{-x} = \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ a^{-m} = \frac{1}{a^m} $
$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x = p $. Yang ditanyakan yaitu :
$ 2^x + 2^{-x} = 2^x + \frac{1}{2^x} = p + \frac{1}{p} $
*). Menentukan bentuk $ p^2 + (\frac{1}{p})^2 $ dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} (p - \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2. p . \frac{1}{p} \\ (p - \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 & = (p - \frac{1}{p})^2 + 2 \end{align} $
*). Mengubah soalnya ke dalam bentuk $ p $ :
$\begin{align} 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ (2^2)^x+(2^2)^{-x}-2^2.2^{-x}+2^2. 2^x-7 & = 0 \\ (2^x)^2+(2^{-x})^2-4.2^{-x}+4. 2^x-7 & = 0 \\ (2^x)^2+(\frac{1}{2^x})^2-4.\frac{1}{2^x}+4. 2^x-7 & = 0 \\ (p)^2+(\frac{1}{p})^2-4.\frac{1}{p}+4.p-7 & = 0 \\ (p)^2+(\frac{1}{p})^2 + 4( p - \frac{1}{p}) -7 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p})^2 + 2 + 4( p - \frac{1}{p}) -7 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p})^2 + 4( p - \frac{1}{p}) -5 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p} -1 )(p - \frac{1}{p} + 5) & = 0 \\ p - \frac{1}{p} = 1 \vee p - \frac{1}{p} & = - 5 \end{align} $
*). Kita proses satu per satu sampai ditemukan jawabannya di optionnya.
*). Bentuk $ p - \frac{1}{p} = 1 $ , kuadratkan :
$\begin{align} p - \frac{1}{p} & = 1 \\ (p - \frac{1}{p})^2 & = 1^2 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2.p.\frac{1}{p} & = 1 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2 & = 1 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 & = 3 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 + 2.p.\frac{1}{p} \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 + 2 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = 3 + 2 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = 5 \\ p + \frac{1}{p} & = \sqrt{5} \end{align} $
Karena sudah ada di optionnya, maka bentuk $ p - \frac{1}{p} = -5 $ tidak perlu kita proses lagi.
Jadi, nilai $ 2^x + 2^{-x} = \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Catatan : Dari bentuk $ p - \frac{1}{p} = 1 $ , bisa juga dikalikan $ p $ sehingga terbentuk persamaan kuadrat, kemudian tentukan nilai $ p $ nya dengan rumus ABC, setelah itu baru substitusikan ke bentuk $ p + \frac{1}{p} $.

Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x + 2^{-x} = p $
*). Menentukan bentuk $ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 $ dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} (2^x + 2^{-x})^2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^x . 2^{-x} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^{x + (-x)} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^{0} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 1 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 & = p^2 - 2 \end{align} $
*). Menentukan $ 2^x - 2^{-x} $ :
$\begin{align} (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^x . 2^{-x} \\ (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2 \\ (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = (p^2 - 2) - 2 \\ (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = p^2 - 4 \\ 2^x - 2^{-x} & = \sqrt{ p^2 - 4 } \end{align} $
*). Mengubah soalnya ke dalam bentuk $ p $ :
$\begin{align} 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ (2^2)^x+ (2^2)^{-x}-2^2. 2^{-x} +2^2. 2^x -7 & = 0 \\ 2^{2x}+ 2^{-2x} -4. 2^{-x} + 4. 2^x -7 & = 0 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 4( 2^x - 2^{-x} ) -7 & = 0 \\ (p^2 - 2) + 4 \sqrt{ p^2 - 4 } -7 & = 0 \\ 4 \sqrt{ p^2 - 4 } = 9 - & p^2 \end{align} $
*). Kuadratkan bentuk terakhir di atas :
$\begin{align} (4 \sqrt{ p^2 - 4 })^2 & = (9 - p^2 )^2 \\ 16(p^2 - 4) & = 81 - 18p^2 + p^4 \\ p^4 - 34p^2 + 145 & = 0 \\ (p^2 - 5)(p^2 - 29) & = 0 \\ p^2 = 5 \vee p^2 & = 29 \\ p = \sqrt{5} \vee p & = \sqrt{29} \end{align} $
Yang ada di option adalah $ p = \sqrt{5} $
Jadi, nilai $ 2^x + 2^{-x} = \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas

Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah ....
A). $ 576 \, $ B). $ 648 \, $ C). $ 729 \, $ D). $ 765 \, $ E). $ 810 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyusun banyaknya cara penyusunan angka bisa menggunakan kaidah pencacahan yaitu aturan perkalian dan penjumlahan.
*). Jika ada penyusunan dengan digit berbeda, maka maksudnya adalah angka yang sudah kita gunakan tidak boleh dipakai lagi sehingga kemungkinan untuk digit berikutnya selalu berkurang satu.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angkanya : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ada 10 pilihan angka)
*). Akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga digit ( urutannya dari ratusan, puluhan, dan satuan) dengan aturan semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan. Untuk memudahkan penghitungan, kita bagi menjadi dua kasus yaitu :

*). Kasus I : semua digitnya berbeda, kemungkinan susunannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline R & P & S \\ \hline 9 & 9 & 8 \\ \hline \end{array} $
Cara I = $ 9 \times 9 \times 8 = 648 \, $ cara
Keterangan :
-). Ratusan tidak boleh angka nol, sehingga ada 9 pilihan kemungkinan yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
-). Satu angka sudah kita gunakan untuk ratusan, sehingga tinggal 9 pilihan lagi untuk puluhannya.
-). Dua angka sudah kita gunakan untuk ratusan dan puluhan, sehingga tinggal 8 pilihan lagi untuk satuannya.

*). Kasus II : ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan, kemungkinan susunannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline R & P & S \\ \hline 9 & 9 & 1 \\ \hline \end{array} $
Cara II = $ 9 \times 9 \times 1 = 81 \, $ cara
Keterangan :
-). Kasus kedua ini terpenuhi jika digit yang sama terletak pada ratusan dan satuannya.
-). Ratusan tidak boleh angka nol, sehingga ada 9 pilihan kemungkinan yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
-). Satu angka sudah kita gunakan untuk ratusan, sehingga tinggal 9 pilihan lagi untuk puluhannya.
-). Satuannya harus sama dengan digit pada ratusannya, sehingga otomatis satuannya terisi sesuai digit pada ratusanya, ini artinya cuma ada 1 pilihan saja.

*). Total cara penyusunannya :
$\begin{align} \text{Total } & = \text{cara I } + \text{ cara II} \\ & = 648 + 81 \\ & = 729 \end{align} $
Jadi, banyak bilangannya ada $ 729 . \, \heartsuit $

Pages - Menu