Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{\pi}{12} \, $ C). $ -\frac{\pi}{9} \, $ D). $ -\frac{\pi}{8} \, $ E). $ -\frac{\pi}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc ^2 g(x)) $
$ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x) $
*). Rumus trigonometri dasar :
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
$ \cos A = \sin (90^\circ - A) \, $ dan $ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$ \cos (-A) = \cos A $
$ \cos ^2 A - \sin ^2 A = \cos 2A $
*). Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right)- (-1).\sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ \end{align} $
*). Syarat : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) & = 0 \\ \frac{-1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } + \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} & = 0 \\ \frac{1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } & = \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} \\ \sin ^2 (x+60^\circ) & = \cos ^2 (120^\circ - x ) \\ \cos ^2[ 90^\circ - (x+60^\circ) ] & = \sin ^2 [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ \cos ^2 (30^\circ - x) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) - \sin ^2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos 2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar