Pembahasan Vektor UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $ , maka panjang vektor $ \vec{u} $ sama dengan ....
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{5}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \sqrt{2} \, $ D). $ \frac{5}{2}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{1}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Terdapat vektor $ \vec{u}=(a_1, a_2, a_3) $ dan $ \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) $
-). Perkalian dot : $ \vec{u}.\vec{v}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
-). Panjang vektor $ \vec{v} $ yaitu :
-). Kali skalar : $ k\vec{u} = k(a_1, a_2, a_3) = (ka_1, ka_2, ka_3) $
$ |\vec{v}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 } $
-). Proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} = \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{(|\vec{v}|)^2} \right) \vec{v} $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $.
*). Memproses hasil proyeksinya :
$\begin{align} \text{Proyeksi } \vec{u} \text{ pada } \vec{v} & = \vec{w} \\ \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{(|\vec{v}|)^2} \right) \vec{v} & = \vec{w} \\ \left( \frac{a.1 + (a+1).1+ 2.1}{(\sqrt{1^2+1^2+1^2} )^2} \right) \vec{v} & = (2,2,2) \\ \left( \frac{a + a + 1+ 2 }{(\sqrt{3} )^2} \right) \vec{v} & = (2,2,2) \\ \left( \frac{2a + 3}{3} \right) (1,1,1) & = (2,2,2) \\ \left( \frac{2a + 3}{3} , \frac{2a + 3}{3} , \frac{2a + 3}{3} \right) & = (2,2,2) \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ \frac{2a + 3}{3} = 2 \rightarrow 2a + 3 = 6 \rightarrow a = \frac{3}{2} $
Sehingga vektor $ \vec{u} $ menjadi :
$ \vec{u}=(a, a+1, 2) = \left( \frac{3}{2} , \frac{5}{2}, 2 \right) $
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$\begin{align} |\vec{u}| & = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4} \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + \frac{16}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{50}{4} } = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{25\times 2}}{\sqrt{4}} \\ & = \frac{\sqrt{25}.\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{u} $ adalah $ \frac{5}{2}\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar