Pembahasan Barisan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah .....
A). $ 42\frac{5}{8} \, $ B). $ 32\frac{5}{8} \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 24\frac{5}{8} \, $ E). $ 24 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan geometri yaitu perbandingan sama.
Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
Berlaku : $ \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = k.r^{n-1} $
Keterangan :
$ k = \, $ suku pertama ($u_1$)
$ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
Catatan :
Sebenarnya rumusnya $ u_n = a.r^{n-1} $ , namun pada soal ini ternyata $ a $ sebagai suku ketiga, sehingga agar tidak membingungkan, maka kita ganti saja simbol suku pertama dengan $ k $ .
$ u_3 = kr^2 , u_4 = kr^3 $ , dan $ u_5 = kr^4 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Artinya $ u_3 = a $ , $ u_4 = \frac{1}{a} $ , dan $ u_5 = \frac{1}{a^2+2a} $. Karena $ r \neq 1 $ , maka nilai satu suku dengan suku lainnya yang berurutan tidak boleh sama.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \frac{u_4}{u_3} & = \frac{u_5}{u_4} \\ u_4.u_4 & = u_3.u_5 \\ \frac{1}{a}.\frac{1}{a} & = a. \frac{1}{a^2+2a} \\ \frac{1}{a^2} & = a. \frac{1}{a(a+2)} \\ \frac{1}{a^2} & = \frac{1}{(a+2)} \\ a^2 & = a + 2 \\ a^2 - a - 2 & = 0 \\ (a +1)(a-2) & = 0 \\ a = -1 \vee a & = 2 \end{align} $
-). Untuk $ a = -1 $ , kita peroleh :
$ u_3 = a = -1 $ , $ u_4 = \frac{1}{a} = \frac{1}{-1} = -1 $
Karena $ u_3 = u_4 $ maka $ r = 1 $ , padahal disoal tidak boleh $ r = 1 $ , sehingga $ a = -1 $ tidak memenuhi.
-). Untuk $ a = 2 $
$ u_3 = a \rightarrow kr^2 = 2 \rightarrow k = \frac{2}{r^2} \, $ ....(i)
$ u_4 = \frac{1}{a} \rightarrow kr^3 = \frac{1}{2} \, $ .... (ii)
*). Menentukan hasil kali 5 suku pertama :
$\begin{align} & u_1.u_2.u_3.u_4.u_5 \\ & = k.kr.kr^2.kr^3.kr^4 \\ & = k^5. r^{10} \\ & = (kr^2)^5 \\ & = (u_3)^5 \\ & = 2^5 = 32 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 32 . \, \heartsuit $

Catatan :
Kita juga boleh menentukan nilai $ k $ dan $ r $ dengan menyelesaikan pers(i) dan pers(ii), kemudian substitusikan ke soal yang ditanyakan.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar