Pembahasan Ketaksamaan Pecahan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $ \frac{3^{x+3}+3^x-36}{9^x-9} \leq 3 $ adalah $ a \leq x \leq b $ atau $ x \geq c $ . Nilai $ a + 2b + c = ... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Akar-akar dari penyebut sebuah pecahan selalu tidak ikut jadi penyelesaian agar penyebutnya tidak bernilai nol.
*). Sifat Eksponen :
$ a^{m+n} = a^m . a^n $
$ (a^m)^n = (a^n)^m $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 3^x = p $
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} \frac{3^{x+3}+3^x-36}{9^x-9} & \leq 3 \\ \frac{3^x. 3^3+3^x-36}{(3^2)^x-9} & \leq 3 \\ \frac{27. 3^x+3^x-36}{(3^x)^2-9} & \leq 3 \\ \frac{27p+p-36}{p^2-9} - 3 & \leq 0 \\ \frac{28p-36}{p^2-9} - 3.\frac{p^2-9}{p^2-9} & \leq 0 \\ \frac{28p-36-3p^2+27}{p^2-9} & \leq 0 \\ \frac{-3p^2+28p-9}{p^2-9} & \leq 0 \\ \frac{(-3p +1)(p-9)}{(p+3)(p-3)} & \leq 0 \end{align} $

-). Akar-akarnya :
$ (-3p +1)(p-9) = 0 \rightarrow p = \frac{1}{3} \vee p = 9 $
$ (p+3)(p-3) = 0 \rightarrow p = -3 \vee p = 3 $
-). Menentukan nilai $ x $ dari nilai $ p $ :
Karena $ p = 3^x $ , maka nilai $ p $ yang positif saja yang memenuhi.
$ p = \frac{1}{3} \rightarrow 3^x = 3^{-1} \rightarrow x = -1 $
$ p = 9 \rightarrow 3^x = 3^2 \rightarrow x = 2 $
$ p = 3 \rightarrow 3^x = 3 \rightarrow x = 1 $
-). Garis bilangannya :

 
-). Himpunan penyelesaiannya :
HP $ = \{ -1 \leq x < 1 \} $ atu $ \{ x \geq 2 \} $
Penyelesaian ini sama dengan :
$ a \leq x \leq b $ atau $ x \geq c $
Sehingga $ a = -1 , b = 1 , $ dan $ c = 2 $
*). Menentukan nilai $ a + 2b + c $ :
$\begin{align} a + 2b + c & = -1 + 2.1 + 2 = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + 2b + c= 3 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar