Pembahasan Ketaksamaan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a < x < b $ adalah solusi pertidaksamaan $ 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... > 2 $ , dengan $ x \neq 1 $, maka $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Akar-akar dari penyebut sebuah pecahan selalu tidak ikut jadi penyelesaian agar penyebutnya tidak bernilai nol.
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Deret Geometri tak hingga :
$ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + ...... = s_\infty $
dengan $ s_\infty = \frac{u_1}{1-r} $ dimana $ r = \frac{u_2}{u_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x = p $
Bentuk $ 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... = s_\infty $
dengan $ u_1 = 1 $ dan $ r = \frac{2^x}{1} = 2^x $
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... & > 2 \\ s_\infty & > 2 \\ \frac{u_1}{1-r} & > 2 \\ \frac{1}{1-2^x} & > 2 \\ \frac{1}{1-2^x} - 2 & > 0 \\ \frac{1}{1-2^x} - \frac{2(1-2^x)}{1-2^x} & > 0 \\ \frac{1 - 2 + 2. 2^x}{1-2^x} & > 0 \\ \frac{2. 2^x - 1 }{1-2^x} & > 0 \\ \frac{2p - 1 }{1-p} & > 0 \end{align} $

-). Akar-akarnya :
$ 2p-1 = 0 \rightarrow p = \frac{1}{2} $
$ 1 - p = 0 \rightarrow p = 1 $
-). Menentukan nilai $ x $ dari nilai $ p $ :
$ p = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x = 2^{-1} \rightarrow x = -1 $
$ p = 1 \rightarrow 2^x = 1 \rightarrow x = 0 $
-). Garis bilangannya :
 

-). Himpunan penyelesaiannya :
HP $ = \{ -1 < x < 0 \} $
Penyelesaian ini sama dengan :
$ a < x < b $
Sehingga $ a = -1 $ dan $ b = 0 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = -1 + 0 = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = -1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar