Pembahasan Ketaksamaan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ dan $ x $ memenuhi $ 5\cos ^2 x + 3\sin x \cos x \geq 1 $ , maka himpunan semua $ y = \tan x $ adalah ....
A). $ \{y \in R : \, -1 \leq y \leq 4 \} \, $
B). $ \{y \in R : \, -4 \leq y \leq 1 \} \, $
C). $ \{y \in R : \, -4 \leq y \leq -1 \} \, $
D). $ \{y \in R : \, 1 \leq y \leq 4 \} \, $
E). $ R $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
$ \frac{\sin x}{\cos x } = \tan x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah ketaksamaannya :
$\begin{align} 5\cos ^2 x + 3\sin x \cos x & \geq 1 \\ 5\cos ^2 x + 3\sin x \cos x & \geq \sin ^2 x + \cos ^2 x \\ \sin ^2 x - 4\cos ^2 x - 3\sin x \cos x & \leq 0 \\ \text{ (bagi dengan } \, \cos ^2 x ) & \\ \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^2 - 4.1 - 3.\frac{\sin x}{\cos x} & \leq 0 \\ \left(\tan x \right)^2 - 4 - 3\tan x & \leq 0 \\ \left(\tan x \right)^2 - 3\tan x - 4 & \leq 0 \\ \text{ (substitusi } \,\tan x = y ) & \\ y^2 - 3y - 4 & \leq 0 \\ (y +1)(y-4) & \leq 0 \\ y = -1 \vee y & = 4 \\ \end{align} $
-). garis bilangannya :
 

Solusinya :
$ -1 \leq y \leq 4 $
Jadi, nilai $ y $ adalah $ \{ -1 \leq y \leq 4 \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar