Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $\left( {}^2 \log x \right)^2 - \left( {}^2 \log y \right)^2={}^2 \log 256 $ dan $ {}^2 \log x^2 - {}^2 \log y^2 = {}^2 \log 16 $ , maka nilai dari $ {}^2 \log x^6y^{-2} $ adalah .....
A). $ 24 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n \, {}^a \log b $
$ {}^a \log a = 1 $
$ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
*). Pemfaktoran :
$ P^2 - Q^2 = (P+Q)(P-Q) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ {}^2 \log x = a $ dan $ {}^2 \log y = b $
*). Mengubah persamaannya :
-). Persamaan pertama :
$ \begin{align} {}^2 \log x^2 - {}^2 \log y^2 & = {}^2 \log 16 \\ 2{}^2 \log x - 2 {}^2 \log y & = {}^2 \log 2^4 \\ 2a - 2b & = 4 {}^2 \log 2 \\ 2(a - b) & = 4 \\ a - b & = 2 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ a & = b + 2 \end{align} $
-). Persamaan kedua dan gunakan pers(i) :
$ \begin{align} \left( {}^2 \log x \right)^2 - \left( {}^2 \log y \right)^2 & ={}^2 \log 256 \\ \left( a \right)^2 - \left( b \right)^2 & ={}^2 \log 2^8 \\ (a+b)(a-b) & = 8 {}^2 \log 2 \\ (a+b)(2) & = 8 \\ a + b & = 4 \\ (b + 2) + b & = 4 \\ 2b & = 2 \\ b & = 1 \end{align} $
pers(i): $ a = b + 2 = 1 + 2 = 3 $
*). Menentukan nilai $ {}^2 \log x^6y^{-2} $ :
$ \begin{align} {}^2 \log x^6y^{-2} & = {}^2 \log x^6 + {}^2 \log y^{-2} \\ & = 6 \, {}^2 \log x + (-2) \, {}^2 \log y \\ & = 6 a - 2b \\ & = 6 (3) - 2(1) \\ & = 18 - 2 = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^2 \log x^6y^{-2} = 16 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar