Pembahasan Barisan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika. Diketahui $U_1\times U_2 = 10 $ dan $ U_1\times U_3 = 16 $. Jika suku-suku dari barisan aritmetika tersebut merupakn bilangan positif, maka $ U_{10} = .... $
A). $ 21 \, $ B). $ 23 \, $ C). $ 25 \, $ D). $ 27 \, $ E). $ 29 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, U_n = a+(n-1)b $
Sehingga penjabarannya :
$ U_1 = a , U_2 = a + b , U_3 = a + 2b, ...... $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaannya :
$ \begin{align} U_1.U_2 = 10 \rightarrow a (a+b) & = 10 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ U_1.U_3 = 10 \rightarrow a (a+2b) & = 16 \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Bagi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{align} \frac{a(a+b)}{a(a+2b)} & = \frac{10}{16} \\ \frac{a+b}{ a+2b} & = \frac{5}{8} \\ 8(a+b) & = 5(a + 2b) \\ 8a + 8b & = 5a + 10 b \\ 3a & = 2b \\ b & = \frac{3}{2} a \end{align} $
*). Substitusi $ 2b = 3a $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} a (a+2b) & = 16 \\ a (a+3a) & = 16 \\ a (4a) & = 16 \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm 2 \end{align} $
Karena suku-suku positif, maka $ a = 2 $ yang memenuhi.
sehingga $ b = \frac{3}{2}a = \frac{3}{2}.2 = 3 $
*). Menentukan $ U_{10} $ :
$ \begin{align} U_{10} & = a + 9b \\ & = 2 + 9. 3 = 29 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_{10} = 29 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar