Nomor 1
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\clubsuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\clubsuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
$\clubsuit \, $ Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\clubsuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
$\clubsuit \, $ Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor 2
Bila $sinx+cosx=a$, maka $sin^4x+cos^4x=...$
$\spadesuit \, $ Identitas trigonometri dan rumus dasar lainnya:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1 \, $ dan $\, p^2+q^2=(p+q)^2-2pq$
$\spadesuit \, $ Kuadratkan $sinx+cosx=a:$
$\begin{align} sinx+cosx&=a \\ (sinx+cosx)^2&=a^2 \\ sin^2x+cos^2x+2sinxcosx&=a^2 \\ 1+2sinxcosx&=a^2 \\ sinxcosx&=\frac{a^2-1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal: $sin^4x+cos^4x$
$\begin{align} sin^4x+cos^4x &= (sin^2)^2+(cos^2x)^2 \\ &= (sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x \\ &=(1)^2-2(sinxcosx)^2 \\ &= 1-2\left( \frac{a^2-1}{2} \right)^2 \\ &= 1-\frac{(a^2-1)^2}{2} \end{align}$
Jadi, $sin^4x+cos^4x=1-\frac{(a^2-1)^2}{2}. \heartsuit $
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1 \, $ dan $\, p^2+q^2=(p+q)^2-2pq$
$\spadesuit \, $ Kuadratkan $sinx+cosx=a:$
$\begin{align} sinx+cosx&=a \\ (sinx+cosx)^2&=a^2 \\ sin^2x+cos^2x+2sinxcosx&=a^2 \\ 1+2sinxcosx&=a^2 \\ sinxcosx&=\frac{a^2-1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal: $sin^4x+cos^4x$
$\begin{align} sin^4x+cos^4x &= (sin^2)^2+(cos^2x)^2 \\ &= (sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x \\ &=(1)^2-2(sinxcosx)^2 \\ &= 1-2\left( \frac{a^2-1}{2} \right)^2 \\ &= 1-\frac{(a^2-1)^2}{2} \end{align}$
Jadi, $sin^4x+cos^4x=1-\frac{(a^2-1)^2}{2}. \heartsuit $
Nomor 3
Nilai $a$ yang menyebabkan persamaan $9^x-a.3^x+a=0$ mempunyai tepat satu akar nyata adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan $p=3^x$:
$9^x-a.3^x+a=0 \Leftrightarrow (3^x)^2-a.(3^x)+a=0 \Leftrightarrow p^2-ap+a=0\,$...pers(i)
$\clubsuit \, $Pers (i) berbentuk persamaan kuadrat, sehingga agar diperoleh akar kembar, harus memenuhi syarat :$D=0$
$\begin{align*} D&=0 \\ b^2-4ac&=0 \\ (-a)^2-4.1.a&=0 \\ a^2-4a&=0 \\ a(a-4)&=0 \\ a=0 \, &\text{atau} \, x=4 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Cek nilai $a \, $ ke persmaan $9^x-a.3^x+a=0\,$:
$a=0 \Rightarrow 9^x-0.3^x+0=0 \Rightarrow 9^x=0 \, $ (tidak memenuhi karena $9^x>0$)
$a=4 \Rightarrow 9^x-4.3^x+4=0 \Rightarrow (3^x-2)^2=0 \Rightarrow 3^x=2 \Rightarrow x={}^{3}log2 \, $ (memenuhi)
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=4 \, \heartsuit $
$9^x-a.3^x+a=0 \Leftrightarrow (3^x)^2-a.(3^x)+a=0 \Leftrightarrow p^2-ap+a=0\,$...pers(i)
$\clubsuit \, $Pers (i) berbentuk persamaan kuadrat, sehingga agar diperoleh akar kembar, harus memenuhi syarat :$D=0$
$\begin{align*} D&=0 \\ b^2-4ac&=0 \\ (-a)^2-4.1.a&=0 \\ a^2-4a&=0 \\ a(a-4)&=0 \\ a=0 \, &\text{atau} \, x=4 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Cek nilai $a \, $ ke persmaan $9^x-a.3^x+a=0\,$:
$a=0 \Rightarrow 9^x-0.3^x+0=0 \Rightarrow 9^x=0 \, $ (tidak memenuhi karena $9^x>0$)
$a=4 \Rightarrow 9^x-4.3^x+4=0 \Rightarrow (3^x-2)^2=0 \Rightarrow 3^x=2 \Rightarrow x={}^{3}log2 \, $ (memenuhi)
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=4 \, \heartsuit $
Nomor 4
Jika $A$ adalah matriks berukuran 2 x 2 dan
$\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] = x^2-5x+8$, maka matriks $A$
yang mungkin adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan matriks $A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \, $:
$\begin{align*} \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} ax+c & bx+d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ ax^2+(b+c)x+d&= x^2-5x+8 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Diperoleh $a=1,d=8, \, $ dan $b+c=-5$
Jadi, kemungkinan matriks $A$: $\, \, A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ -8 & 8 \end{matrix} \right]\, \heartsuit $
$\begin{align*} \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} ax+c & bx+d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ ax^2+(b+c)x+d&= x^2-5x+8 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Diperoleh $a=1,d=8, \, $ dan $b+c=-5$
Jadi, kemungkinan matriks $A$: $\, \, A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ -8 & 8 \end{matrix} \right]\, \heartsuit $
Nomor 5
Jika $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)+\frac{1}{g(x)} \right)=4$ dan $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)- \frac{1}{g(x)} \right)=-3$,
maka $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( \left(f(x)\right)^2+\frac{1}{\left(g(x)\right)^2} \right)=...$
$\clubsuit \, $ Substitusi semua $x$ dengan $a$ pada masing-masing limit:
$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)+\frac{1}{g(x)} \right)=4 \Rightarrow \left( f(a)+\frac{1}{g(a)} \right)=4$ ...pers(i)
$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)- \frac{1}{g(x)} \right)=-3 \Rightarrow \left( f(a)- \frac{1}{g(a)} \right)=-3$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii), diperoleh : $f(a)=\frac{1}{2}, \frac{1}{g(a)}=\frac{7}{2}.$
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $f(a)$ dan $g(a)$
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to a} \left( \left(f(x)\right)^2+\frac{1}{\left(g(x)\right)^2} \right)&= \left( \left(f(a)\right)^2+\frac{1}{\left(g(a)\right)^2} \right) \\ &=\left( \left(f(a)\right)^2+\left(\frac{1}{g(a)}\right)^2 \right) \\ &=\left( \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left( \frac{7}{2}\right)^2 \right) \\ &=\frac{50}{4}=\frac{25}{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( \left(f(x)\right)^2+\frac{1}{\left(g(x)\right)^2} \right)=\frac{25}{2}. \heartsuit$
$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)+\frac{1}{g(x)} \right)=4 \Rightarrow \left( f(a)+\frac{1}{g(a)} \right)=4$ ...pers(i)
$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)- \frac{1}{g(x)} \right)=-3 \Rightarrow \left( f(a)- \frac{1}{g(a)} \right)=-3$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii), diperoleh : $f(a)=\frac{1}{2}, \frac{1}{g(a)}=\frac{7}{2}.$
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $f(a)$ dan $g(a)$
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to a} \left( \left(f(x)\right)^2+\frac{1}{\left(g(x)\right)^2} \right)&= \left( \left(f(a)\right)^2+\frac{1}{\left(g(a)\right)^2} \right) \\ &=\left( \left(f(a)\right)^2+\left(\frac{1}{g(a)}\right)^2 \right) \\ &=\left( \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left( \frac{7}{2}\right)^2 \right) \\ &=\frac{50}{4}=\frac{25}{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( \left(f(x)\right)^2+\frac{1}{\left(g(x)\right)^2} \right)=\frac{25}{2}. \heartsuit$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.