Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 611 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin asli dan satu koin palsu adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada 4 koin palsu dan 8 koin asli (4p8a) , diambil 2 koin :
$n(S)=C_2^12=66$
$\spadesuit \, $ Kejadian yang diharapkan (K) terambil 1p1a
$n(K)=C_1^4.C_1^8=4.8=32$
$\spadesuit \, $ Peluangnya:
$P(K)=\frac{n(K)}{n(S)}=\frac{32}{66}=\frac{16}{33}$
Jadi, peluang terambil 1 koin palsu dan 1 koin asli adalah $\frac{16}{33}. \heartsuit $
Nomor 12
Jika $f(x)=\frac{x+1}{x-1}, \, x\neq 1 $ , maka $f^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) =...$
$\clubsuit \, $ invers dari $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a} $:
$\begin{align*} f(x)=\frac{x+1}{x-1} \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x+1}{x-1} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan $ f^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) $
$\begin{align*} f^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) & = \frac{ \left( \frac{1}{x} \right) +1}{ \left( \frac{1}{x} \right) -1} \\ &= \frac{ \left( \frac{1}{x} \right) +1}{ \left( \frac{1}{x} \right) -1} . \frac{x}{x} \\ &= \frac{1+x}{1-x} = -\frac{x+1}{x-1} \\ f^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) &= -f(x) \end{align*}$
Jadi, $ f^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) = - f(x) . \heartsuit $
Nomor 13
Garis $l$ mempunyai gradien 2. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-x^2+px+1$ di $x=1$ , maka persamaan $l$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Garis $l$ gradiennya $m_l=2$
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung di $x=1$
$f(x)=-x^2+px+1 \Rightarrow f^\prime (x) = -2x+p$
gradien : $m_l=f^\prime (1) \Rightarrow 2=-2.1+p \Rightarrow p=4$
fungsinya : $f(x)=-x^2+4x+1$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik singgung dengan $x=1$
$x=1 \Rightarrow y=-1^2+4.1+1=4 $
titik singgungnya : (1,4)
$\spadesuit \, $ persamaan garis singgung $l$ di titik (1,4) dengan $m=2$
$\begin{align*} y-y_1&=m(x-x_1) \\ y-4&=2(x-1) \\ y&=2x+2 \end{align*}$
Jadi, PGS nya adalah $y=2x+2 . \heartsuit $
Nomor 14
Semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $2^{2x+2}-17(2^x)+4 < 0 $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Permisalan: $p=2^x$
$\begin{align*} 2^{2x+2}-17(2^x)+4 & <0 \\ 2^2.2^{2x}-17(2^x)+4 & <0 \\ 4(2^x)^2-17(2^x)+4 & <0 \\ 4p^2-17p+4 & < 0 \\ (4p-1)(p-4) & = 0 \\ p=\frac{1}{4} \, & \text{atau} \, p=4 \\ p=\frac{1}{4} & \Rightarrow 2^x=\frac{1}{4} \Rightarrow 2^x = 2^{-2} \Rightarrow x=-2 \\ p=4 & \Rightarrow 2^x=4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x=2 \end{align*} $
sbmptn_matdas_4_2014.png
Jadi, $HP = \{ -2 < x < 2 \} . \heartsuit $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow 2^{2.0+2}-17(2^0)+4 & < 0 \\ 4-17+4 & < 0 \\ -9 & < 0 \, \, \text{(benar)} \end{align*}$
yang ada $x=0$ benar, opsi yang salah adalah A, B dan D.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=-1 \Rightarrow 2^{2.(-1)+2}-17(2^{-1})+4 & < 0 \\ 1- \frac{17}{2} +4 & < 0 \\ -\frac{7}{2} & < 0 \, \, \text{(benar)} \end{align*}$
yang ada $x=-1$ benar, opsi yang salah adalah C.
Jadi, opsi yang benar adalah E yaitu
$HP=\{ -2 < x < 2 \} . \heartsuit$
Nomor 15
Diketahui $x_1$ dan $x_2$ akar-akar real persamaan $x^2+3x+p=0$, dengan $x_1$ dan $x_2$ kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika $x_1+x_2$, $x_1x_2$, dan $x_1^2x_2^2$ merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika , maka $p=...$
$\clubsuit \, $ Menentukan jumlah dan kali akar-akarnya:
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-3}{1}=-3 \, \, $ dan $\, \, x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{p}{1}=p$
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika $x_1+x_2$, $x_1x_2$, dan $x_1^2x_2^2$ memiliki beda sama :
$x_1x_2 - (x_1+x_2) = x_1^2x_2^2 - x_1x_2 \Rightarrow 2(x_1x_2)= (x_1+x_2) + (x_1.x_2)^2 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $p$
$\begin{align*} 2(x_1x_2) & = (x_1+x_2) + (x_1.x_2)^2 \\ 2. p & = -3 + (p)^2 \\ p^2-2p-3 &= 0 \\ (p+1)(p-3) & = 0 \\ p=-1 \, & \text{atau} \, p=3 \end{align*} $
$\clubsuit \, $ Cek nilai $p$ yang memenuhi :
$\begin{align*} p=3 \Rightarrow x^2+3x+p&=0 \\ x^2+3x+3&=0 \\ D&=b^2-4ac \\ &=3^2-4.1.3=-3 < 0 \\ D & < 0 \end{align*} $
Karena $D<0$ , maka akar-akar nya tidak real.
sehingga $p=-1$ yang memenuhi .
Jadi, nilai $p=-1. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar