Nomor 11
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik $P,Q,R$, dan $S$ masing-masing pada $AB, BC, CD$, dan $AD$ sehingga $BP=CR=\frac{AB}{3}$ dan
$QC=DS=\frac{AD}{3}$. Volume limas E.PQRS adalah ... volume kubus.
$\clubsuit \, $ Perhatikan gambar kubus berikut dengan panjang rusuk $s=3x$
$\begin{align*} L_\text{alas}=L_{PQRS}&=L_{ABCD}-(L_{APS}+L_{PBQ}+L_{QRC}+L_{SDR}) \\ &= 3x.3x-(\frac{1}{2}.2x.2x+\frac{1}{2}.2x.x+\frac{1}{2}.x.x+\frac{1}{2}.2x.x) \\ &= 9x^2-(2x^2+x^2+\frac{1}{2}x^2+x^2) \\ L_a&=\frac{9}{2}x^2 \\ \frac{V_{E.PQRS}}{V_{\text{kubus}}}&= \frac{\frac{1}{3}.L_a.t}{s^3}=\frac{\frac{1}{3}.\frac{9}{2}x^2.3x}{3x.3x.3x}=\frac{1}{6} \end{align*}$
Jadi , $V_{E.PQRS}=\frac{1}{6} V_{\text{kubus}} . \heartsuit $
$\begin{align*} L_\text{alas}=L_{PQRS}&=L_{ABCD}-(L_{APS}+L_{PBQ}+L_{QRC}+L_{SDR}) \\ &= 3x.3x-(\frac{1}{2}.2x.2x+\frac{1}{2}.2x.x+\frac{1}{2}.x.x+\frac{1}{2}.2x.x) \\ &= 9x^2-(2x^2+x^2+\frac{1}{2}x^2+x^2) \\ L_a&=\frac{9}{2}x^2 \\ \frac{V_{E.PQRS}}{V_{\text{kubus}}}&= \frac{\frac{1}{3}.L_a.t}{s^3}=\frac{\frac{1}{3}.\frac{9}{2}x^2.3x}{3x.3x.3x}=\frac{1}{6} \end{align*}$
Jadi , $V_{E.PQRS}=\frac{1}{6} V_{\text{kubus}} . \heartsuit $
Nomor 12
Misalkan $A(t)$ menyatakan luas daerah di bawah kurva $y=bx^2 , 0\leq x \leq t$. Jika titik $P(x_0,0)$ sehingga $A(x_0):A(1)=1:8$, maka perbandingan
luas trapesium $ABPQ:DCPQ=...$
$\spadesuit \, $ Menentukan $A(t)$:
$\begin{align*} A(t)&=\int_0^t bx^2 dx = \left[ \frac{b}{3}x^3 \right]_0^t = \frac{b}{3} (t^3-0^3) =\frac{b}{3} t^3 \\ t=x_0 \rightarrow A(x_0)&=\frac{b}{3} (x_0)^3 \\ t=1 \rightarrow A(1)&=\frac{b}{3} (1)^3 = \frac{b}{3} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $x_0 \, $ dari $A(x_0):A(1)=1:8$
$\begin{align*} \frac{A(x_0)}{A(1)}&=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{b}{3} (x_0)^3}{\frac{b}{3}}=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0^3=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0= \frac{1}{2} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik A, Q, dan D dengan menggunakan $y=bx^2$
titik A : $x=-1 \Rightarrow y=b(-1)^2 = b. \,$ Jadi titik A(-1, b)
titik Q : $x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=b\left( \frac{1}{2} \right)^2 = b.\,$ Jadi titik Q(1/2, b/4)
titik D : $x=1 \Rightarrow y=b(1)^2 = b.\,$ Jadi titik D(1, b)
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan luas $ABPQ:DCPQ$
$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{\frac{1}{2}(AB+PQ).BP}{\frac{1}{2}(CD+PQ).CP}=\frac{(b+\frac{b}{4}).\frac{3}{2}}{(b+\frac{b}{4}).\frac{1}{2}} = \frac{3}{1} $
Jadi, perbandingan luas $\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{3}{1}. \, \heartsuit $
$\begin{align*} A(t)&=\int_0^t bx^2 dx = \left[ \frac{b}{3}x^3 \right]_0^t = \frac{b}{3} (t^3-0^3) =\frac{b}{3} t^3 \\ t=x_0 \rightarrow A(x_0)&=\frac{b}{3} (x_0)^3 \\ t=1 \rightarrow A(1)&=\frac{b}{3} (1)^3 = \frac{b}{3} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $x_0 \, $ dari $A(x_0):A(1)=1:8$
$\begin{align*} \frac{A(x_0)}{A(1)}&=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{b}{3} (x_0)^3}{\frac{b}{3}}=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0^3=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0= \frac{1}{2} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik A, Q, dan D dengan menggunakan $y=bx^2$
titik A : $x=-1 \Rightarrow y=b(-1)^2 = b. \,$ Jadi titik A(-1, b)
titik Q : $x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=b\left( \frac{1}{2} \right)^2 = b.\,$ Jadi titik Q(1/2, b/4)
titik D : $x=1 \Rightarrow y=b(1)^2 = b.\,$ Jadi titik D(1, b)
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan luas $ABPQ:DCPQ$
$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{\frac{1}{2}(AB+PQ).BP}{\frac{1}{2}(CD+PQ).CP}=\frac{(b+\frac{b}{4}).\frac{3}{2}}{(b+\frac{b}{4}).\frac{1}{2}} = \frac{3}{1} $
Jadi, perbandingan luas $\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{3}{1}. \, \heartsuit $
Nomor 13
Jika lingkaran $x^2+y^2-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari 2 dan menyinggung $x-y=0$ , maka nilai $a^2+b$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$x^2+y^2-2ax+b=0 : A=-2a, B=0, C=b$
pusat : $(a,b)=\left(-\frac{A}{2},-\frac{b}{2}\right)=\left(-\frac{-2a}{2},-\frac{0}{2}\right)=(a,0)$
jari-jari : $r=\sqrt{a^2+b^2-C}=\sqrt{a^2+0^2-b}=\sqrt{a^2-b}$ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Lingkaran menyinggung garis, sehingga jari-jari sama dengan jarak pusat lingkaran $(a,0)$ ke garis.
$r=\left| \frac{a-0}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} \right| \Rightarrow r=\frac{a}{\sqrt{2}}$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui $r=2$, substitusi ke pers(ii) dan (i):
pers(ii) $\Rightarrow 2=\frac{a}{\sqrt{2}} \Rightarrow a=2\sqrt{2}$
pers(i) $\Rightarrow 2=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-b} \Rightarrow b=4$
sehingga : $a^2+b=(2\sqrt{2})^2+4=8+4=12$
Jadi, nilai $a^2+b=12 . \heartsuit $
$x^2+y^2-2ax+b=0 : A=-2a, B=0, C=b$
pusat : $(a,b)=\left(-\frac{A}{2},-\frac{b}{2}\right)=\left(-\frac{-2a}{2},-\frac{0}{2}\right)=(a,0)$
jari-jari : $r=\sqrt{a^2+b^2-C}=\sqrt{a^2+0^2-b}=\sqrt{a^2-b}$ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Lingkaran menyinggung garis, sehingga jari-jari sama dengan jarak pusat lingkaran $(a,0)$ ke garis.
$r=\left| \frac{a-0}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} \right| \Rightarrow r=\frac{a}{\sqrt{2}}$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui $r=2$, substitusi ke pers(ii) dan (i):
pers(ii) $\Rightarrow 2=\frac{a}{\sqrt{2}} \Rightarrow a=2\sqrt{2}$
pers(i) $\Rightarrow 2=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-b} \Rightarrow b=4$
sehingga : $a^2+b=(2\sqrt{2})^2+4=8+4=12$
Jadi, nilai $a^2+b=12 . \heartsuit $
Nomor 14
Sebuah toko makanan menyediakan es krim dengan 6 rasa berbeda. Banyak cara seorang pembeli dapat memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada 6 es krim rasa berbeda
$\spadesuit \, $ dipilih 3 rasa bebeda, ada $C_3^6$ cara = 20 cara
$\spadesuit \, $ dipilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda, ada 3! cara = 6 cara
misalnya : 2A2B1C, 2A1B2C, .... sampai ada 6 cara berbeda.
Jadi, total cara ada 20.6 = 120 cara. $\heartsuit $
$\spadesuit \, $ dipilih 3 rasa bebeda, ada $C_3^6$ cara = 20 cara
$\spadesuit \, $ dipilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda, ada 3! cara = 6 cara
misalnya : 2A2B1C, 2A1B2C, .... sampai ada 6 cara berbeda.
Jadi, total cara ada 20.6 = 120 cara. $\heartsuit $
Nomor 15
Diketahui $P(x)$ suatu polinomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa 2 apabila masing-masing dibagi $x-1$,
maka $P(x)$ dibagi $x^2-2x$ memberikan sisa ...
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
$\spadesuit \, \frac{P(x+1)}{x-1} \Rightarrow \text{sisa} = 2$
artinya : substitusi $x=1\, $ ke $P(x+1)$ hasilnya 2
$\begin{align*} P(1+1)&=2 \\ P(2)&=2 \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, \frac{P(x-1)}{x-1} \Rightarrow \text{sisa} = 2$
artinya : substitusi $x=1\, $ ke $P(x-1)$ hasilnya 2
$\begin{align*} P(1-1)&=2 \\ P(0)&=2 \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, P(x) \, $ dibagi dengan $x^2-2x$ dengan hasil $h(x)$ dan misalkan sisanya $ax+b$ , serta gunakan pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{align*} P(x)&=(x^2-2x).h(x)+ (ax+b) \\ P(x)&=x(x-2).h(x)+ (ax+b) \\ x=0 \Rightarrow P(0)&=0.(0-2).h(0)+ (a.0+b) \\ &\Leftrightarrow b=2 \, \text{...pers(iii)} \\ x=2 \Rightarrow P(2)&=2.(2-2).h(2)+ (a.2+b) \\ &\Leftrightarrow 2a+b=2 \, \text{...pers(iv)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(iii) ke pers(iv), diperoleh $a=0 \, $ dan $b=2 \, $.
Sehingga sisanya adalah $ax+b=0.x+2=2$.
Jadi, sisanya adalah $2 .\, \heartsuit $
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
$\spadesuit \, \frac{P(x+1)}{x-1} \Rightarrow \text{sisa} = 2$
artinya : substitusi $x=1\, $ ke $P(x+1)$ hasilnya 2
$\begin{align*} P(1+1)&=2 \\ P(2)&=2 \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, \frac{P(x-1)}{x-1} \Rightarrow \text{sisa} = 2$
artinya : substitusi $x=1\, $ ke $P(x-1)$ hasilnya 2
$\begin{align*} P(1-1)&=2 \\ P(0)&=2 \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, P(x) \, $ dibagi dengan $x^2-2x$ dengan hasil $h(x)$ dan misalkan sisanya $ax+b$ , serta gunakan pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{align*} P(x)&=(x^2-2x).h(x)+ (ax+b) \\ P(x)&=x(x-2).h(x)+ (ax+b) \\ x=0 \Rightarrow P(0)&=0.(0-2).h(0)+ (a.0+b) \\ &\Leftrightarrow b=2 \, \text{...pers(iii)} \\ x=2 \Rightarrow P(2)&=2.(2-2).h(2)+ (a.2+b) \\ &\Leftrightarrow 2a+b=2 \, \text{...pers(iv)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(iii) ke pers(iv), diperoleh $a=0 \, $ dan $b=2 \, $.
Sehingga sisanya adalah $ax+b=0.x+2=2$.
Jadi, sisanya adalah $2 .\, \heartsuit $
