Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 1 sampai 5


Nomor 1
Nilai semua $x$ sehingga matriks $\left[ \begin{matrix} \sqrt{x^2 - 1} & 1 \\ x & 2 \end{matrix} \right]$ mempunyai invers adalah ...
$A$ mempunyai invers jika dan hanya jika $|A|\neq 0$
$A = \left[ \begin{matrix} \sqrt{x^2 - 1} & 1 \\ x & 2 \end{matrix} \right] \Rightarrow |A|=2\sqrt{x^2 - 1}-x$
$\clubsuit \, $ Syarat invers:
$\begin{align} |A| &\neq 0 \\ 2\sqrt{x^2 - 1}-x &\neq 0 \\ 2\sqrt{x^2 - 1} &\neq x \, \text{(dikuadratkan)}\\ 4(x^2 - 1) &\neq x^2 \\ 3x^2 &\neq 4 \\ x &\neq \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \end{align}$
$\text{HP}_1=\{ x \neq \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \}$
$\clubsuit \,$ Syarat akar:
$\begin{align} \sqrt{x^2 - 1}\geq 0 \\ x^2 - 1 \geq 0\\ (x-1)(x+1)= 0 \\ x=1 \, \text{atau} \, x=-1 \end{align}$
um_ugm_matdas_2014.png
$\text{HP}_2=\{ x\leq -1 \, \text{atau} \, x\geq 1 \}$
$\clubsuit \, $ Jadi, solusinya : $\text{HP}=\text{HP}_1 \cap \text{HP}_2$
$\text{HP}=\{ x< - \sqrt{\frac{4}{3}} \, \text{atau} \, -\sqrt{\frac{4}{3}} < x \leq -1 \, \text{atau} \, 1\leq x < \sqrt{\frac{4}{3}} \, \text{atau} \, x > \sqrt{\frac{4}{3}} \} \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika sudut $\alpha$ memenuhi $cos^2\alpha + 2sin(\pi - \alpha ) = sin^2 (\pi + \alpha ) + 1\frac{1}{2}$ maka $sin\alpha = ... $
$\spadesuit \, $ Identitas trigonometri dan hubungan kuadran:
$\begin{align} sin^2\alpha + cos^2\alpha &= 1\\ sin(180^o-\alpha) & = sin\alpha \\ sin(180^o+\alpha) &=-sin\alpha \end{align}$
$\spadesuit \, $ Mederhanakan soal:
$\begin{align} cos^2\alpha + 2sin(\pi - \alpha ) &= sin^2 (\pi + \alpha ) + 1\frac{1}{2} \\ (1-sin^2\alpha) + 2sin\alpha &= \left[ sin(\pi + \alpha) \right]^2 + \frac{3}{2} \\ 1-sin^2\alpha + 2sin\alpha &= \left[ -sin\alpha \right]^2 + \frac{3}{2} \\ 1-sin^2\alpha + 2sin\alpha &= sin^2\alpha + \frac{3}{2} \\ 2sin^2\alpha -2sin\alpha + \frac{1}{2} &=0 \, \text{(kali 2)} \\ 4sin^2\alpha -4sin\alpha + 1 &=0 \\ \left( 2sin\alpha - 1 \right)^2 &=0 \\ sin\alpha & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, $sin\alpha = \frac{1}{2} \heartsuit $
Nomor 3
Peluang Ali, Budi dan Dian lulus "UAN" masing-masing adalah $0,7$ ; $0,8$ dan $0,9$ . Peluang lulus hanya satu orang di antara tiga orang tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Peluang komplemen : $P(X^c)=1-P(X)$
Permisalan :
$P(A)$ : Peluang Ali lulus , $P(A^c)$ : Peluang Ali tidak lulus, $P(B)$ : Peluang Budi lulus , $P(B^c)$ : Peluang Budi tidak lulus , $P(D)$ : Peluang Dian lulus , dan $P(D^c)$ : Peluang Dian tidak lulus.
$\clubsuit \, $ Peluang masing-masing:
$P(A)=0,7 \Rightarrow P(A^c)=1-P(A)=1-0,7=0,3 \\ P(B)=0,8 \Rightarrow P(B^c)=1-P(B)=1-0,8=0,2 \\ P(D)=0,9 \Rightarrow P(D^c)=1-P(D)=1-0,9=0,1 $
Agar yang lulus hanya satu orang, maka ada tiga kemungkinan:
$\spadesuit$1$\spadesuit$. Ali lulus, Budi tidak lulus, Dian tidak lulus, peluangnya adalah:
$P(A).P(B^c).P(D^c)=0,7.0,2.0,1=0,014$
$\spadesuit$2$\spadesuit$. Ali tidak lulus, Budi lulus, Dian tidak lulus, peluangnya adalah:
$P(A^c).P(B).P(D^c)=0,3.0,8.0,1=0,024$
$\spadesuit$3$\spadesuit$. Ali tidak lulus, Budi tidak lulus, Dian lulus, peluangnya adalah:
$P(A^c).P(B^c).P(D)=0,3.0,2.0,9=0,054$
$\clubsuit \, $ Jadi, peluang salah satu lulus adalah :
$0,014 + 0,024 + 0,054 = 0,092$
Nomor 4
Jika $f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ , $x\geq 0$ maka $f(5)=...$
Untuk menyelesaikan soal ini, tanpa menentukan $f(x)$ terlebih dahulu.
$f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ , $x\geq 0$ ....persmaan (i)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x$ dari $f(5)$ :
$f(5)=f(x^2+3x+1)$ , sehingga $x^2+3x+1=5 \Leftrightarrow x^2+3x-4=0$
$\begin{align} x^2+3x-4&=0 \\ (x-1)(x+4)&=0 \\ x=1 \, &\text{atau} \, x=-4 \end{align}$
Karena $x\geq 0$ , maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ .
$\spadesuit \, $ Substitusi $x=1$ ke pers (i) :
$\begin{align} f(x^2+3x+1)&={}^{2}log(2x^3-x^2+7) \\ f(1^2+3.1+1)&={}^{2}log(2.1^3-1^2+7) \\ f(5) &= {}^{2}log(8) \\ f(5) &= 3. \end{align}$
Jadi, $f(5)=3 \heartsuit $
Nomor 5
Untuk $x\geq 1$ , nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^3+6x^2-9x+7$ adalah ....
$\clubsuit \, $ Nilai maksimum/minimum suatu fungsi : $f^\prime (x)=0$
$\begin{align*} f(x) &=-x^3+6x^2-9x+7 \, \, ( x \geq 1) \\ f^\prime (x)&=0 \\ -3x^2+12x-9 &=0 \, \, \text{(dibagi -3)} \\ x^2-4x+3&=0 \\ (x-1)(x-3)&=0 \\ x=1 \, &\text{atau} \, x=3 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1 \, \text{atau} \, x=3$ ke fungsi:
$f(1)=-1^3+6.1^2-9.1+7=3 \, \text{atau} \, f(3)=-3^3+6.3^2-9.3+7=7$
Jadi, nilai maksimum fungsinya adalah 7 . $\heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

9 komentar:

  1. makasih yaaa pembahasannya :)

    BalasHapus
    Balasan
    1. ok, sama-sama !!!
      Terima kasih untuk kunjungannya.
      jika punya soal UM UGM tahun 2015, mohon share di blog ini ya, atau kirim langsung ke email d.4rm.408@gmail.com
      terima ksaih!!!!

      Hapus
  2. Balasan
    1. hallow @Arya,

      Sama-sama Arya, Selamat berjuang untuk tes UTUL UGM nya, Semoga sukses dan lancar mengerjakan soal-soalnya.

      Terima kasih juga telah berkunjung ke blog dunia-informa.

      Hapus
  3. mohon maaf kak pembahasan no. 11 kurang jelas, tiba2 jadi (x-1)/(x-1) itu gimana ?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Rizky,

      Pada pembahasan tesebut, kita menggunakan bentuk pemfaktoran dan perkaliannya. COba cek bentuk pemfaktoran dan kalikan pada baris keempat pasti hasilnya $ \frac{(x-1)}{(x-1)} $.

      Sebagai bantukan, coba ingat bentuk pemfaktoran berikut :
      $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $
      $ (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $

      Semangat belajarnya.

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

      Hapus
  4. Maaf Kak, ingin mengoreksi sedikit yang nomor 3.
    Peluang Ali tidak lulus, Budi tidak lulus, dan Dian lulus adalah: P(A^c)⋅P(B^c)⋅ P(D)=(0,3)(0,2)(0,9)=0,054. ^^

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Nurlaela E.C,

      Terima kasih untuk koreksinya, ini sangat membantu dalam perbaikan pembahasan yang ada di dunia informa. Jika ada kesalahan atau kekurangan atau ada cara lain, mohon untuk dikoreksi dan share di sini ya.

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia informa ini.

      Semoga terus bermanfaat.

      Hapus
  5. permisi kak saya mau tanya untuk yang soal no 5
    Jadi kira kira syarat x lebih dari sama dengan 1 disoalnya itu berfungsi sebagai apanya ya kak ?
    Terima Kasih :D

    BalasHapus